Из­вест­но, что для трёх по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных зна­че­ний ар­гу­мен­та квад­ра­тич­ная функ­ция f(x) при­ни­ма­ет со­от­вет­ствен­но зна­че­ния −9, −9 и −15. Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние f(x).

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Най­ди­те ко­ли­че­ство пар целых чисел (a; b) таких, что   и при этом пло­щадь S фи­гу­ры, за­дан­ной си­сте­мой не­ра­венств

та­ко­ва, что число 2S крат­но 5.

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что AB = 4, AC = 6, угол BAC = 60°. Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AA₁ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность, опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC, в точке A₂. Най­ди­те пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков OA₂C и A₁A₂C, где O – центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

Дано число 800 ... 008 (80 нулей). Тре­бу­ет­ся за­ме­нить не­ко­то­рые два нуля на не­ну­ле­вые цифры так, чтобы после за­ме­ны по­лу­чи­лось число, де­ля­ще­е­ся на 198. Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми это можно сде­лать?

Лучи AB и DC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а лучи BC и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Из­вест­но, что тре­уголь­ни­ки ADP и QAB по­доб­ны (вер­ши­ны не обя­за­тель­но ука­за­ны в со­от­вет­ству­ю­щем по­ряд­ке), а четырёхуголь­ник ABCD можно впи­сать в окруж­ность ра­ди­у­са 4.

а)  Най­ди­те AC.

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABC и ACD ка­са­ют­ся от­рез­ка AC в точ­ках K и T со­от­вет­ствен­но, причём (точка T лежит между K и A). Най­ди­те угол DAC и пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD.

Изоб­ра­зи­те на плос­ко­сти фи­гу­ру Φ, со­сто­я­щую из точек (x; y) ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти таких, что вы­пол­не­на си­сте­ма не­ра­венств

Опре­де­ли­те, из сколь­ких ча­стей со­сто­ит фи­гу­ра Φ.