Не­по­сред­ствен­но про­ве­ря­ет­ся, что числа яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем си­сте­мы. До­ка­жем, что ре­ше­ние един­ствен­но. Для этого по­ка­жем, что функ­ция (x), за­дан­ная пер­вым урав­не­ни­ем, стро­го мо­но­тон­но убы­ва­ет, а функ­ция, за­дан­ная вто­рым урав­не­ни­ем, стро­го мо­но­тон­но убы­ва­ет. Дей­стви­тель­но, про­из­вод­ная пер­вой функ­ции равна

Вто­рая функ­ция опре­де­ле­на при и её про­из­вод­ная имеет вид

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние (При обос­но­ва­нии мо­но­тон­но­сти ука­зан­ных функ­ций можно и не ис­поль­зо­вать про­из­вод­ную, а со­слать­ся на со­от­вет­ству­ю­щие свой­ства по­ка­за­тель­ной и ло­га­риф­ми­че­ской функ­ций для кон­крет­ных ос­но­ва­ний).

Ответ:

Вы­чтем пер­вое урав­не­ние из вто­ро­го и тре­тье­го, по­лу­чим: Под­ста­вим вы­ра­же­ния в пер­вое урав­не­ние, по­лу­чим что после рас­кры­тия ско­бок при­во­дит к ку­би­че­ско­му урав­не­нию Одним из его кор­ней яв­ля­ет­ся раз­ла­га­ем левую часть на мно­жи­те­ли

Дис­кри­ми­нант вто­рой скоб­ки от­ри­ца­те­лен, по­это­му един­ствен­ным дей­стви­тель­ным кор­нем урав­не­ния и ре­ше­ни­ем ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся Тогда

Ответ:

За­ме­ча­ние.

После на­хож­де­ния дей­стви­тель­но­го корня его един­ствен­ность можно до­ка­зать и дру­гим спо­со­бом, ис­сле­до­вав функ­цию Её про­из­вод­ная имеет корни она боль­ше нуля левее пер­во­го и пра­вее вто­ро­го из них, и от­ри­ца­тель­на между ними. Сле­до­ва­тель­но. функ­ция воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ках

и убы­ва­ет на про­ме­жут­ке Зна­чит, точка яв­ля­ет­ся точ­кой её ло­каль­но­го мак­си­му­ма, а точка   — точ­кой ло­каль­но­го ми­ни­му­ма. При этом её зна­че­ния в этих точ­ках

от­ри­ца­тель­ны, сле­до­ва­тель­но, её гра­фик может пе­ре­се­кать ось Оx толь­ко на про­ме­жут­ке на ко­то­ром она стро­го мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. Зна­чит, ре­ше­ний урав­не­ния не может быть боль­ше од­но­го, уже най­ден­но­го нами