Всего: 2 1–2
Добавить в вариант
Дано n положительных чисел a1, 
Докажите, что
Заметим, что
Следовательно,
Так как
то
А отсюда в силу положительности ai очевидно получается справедливость доказываемого тождества.
Найдите все действительные числа d, для которых существуют многочлены от одной переменной P и Q, такие что равенство
выполняется при всех значениях x кроме конечного числа.
Первое решение. Сразу заметим, что при 
равенство из условия невозможно, так что далее мы везде считаем, что 
даже когда не напоминаем об этом явно (это тривиальное замечание, но если его не сделать — можно потерять немного баллов).
Предположим, что такие многочлены P и Q нашлись. Тогда можно считать, что они взаимнопросты (иначе поделим оба на общий множитель — новая пара тоже удовлетворяет условию), и у Q старший коэффициент равен 1 (домножим P и Q на константу, чтобы старший коэффициент стал равен 1). Введем обозначение для разложения Q на линейные множители (естественно, воспользовавшись существованием такого разложения в комплексных числах):
Далее нам потребуется известное утверждение о разложении рациональной функции в сумму простейших дробей.
Лемма (о разложении на простейшие дроби). Существует и единственно представление вида
где степень Pi(x) меньше ni при 
причем 
Это стандартный факт, доказательство которого можно прочесть во многих учебниках, и даже в Википедии в статье «Разложение рациональной дроби на простейшие».
Для комплексного числа α множество чисел вида 
где 
—
Ключевое утверждение: если
Доказательство. Пусть 
и 
такие минимальное и максимальное значения m, при которых 
является корнем Q. Заметим, что и определены корректно: множество значений m не пусто (поскольку 0 подходит) и конечно, поскольку у Q конечное число корней (первое место, в котором важно, что ). Тогда пусть не оба числа 0 и 1 лежат в цепи α. Тогда одно из двух чисел 
и 
не является ни 0, ни 1 (второе место: нам важно, что и 
—
—
и разложим левую часть на простейшие дроби. Поскольку αi — корень Q, в разложение 
входит член со знаменателем 
и ненулевым числителем. Но 
—
иначе 
было бы корнем Q(x), что противоречило бы максимальности 
Тогда член со знаменателем не входит в разложение 
значит, члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие. Аналогично пусть 
—
и разложим левую часть на простейшие дроби. Поскольку 
— в разложение 
входит член со знаменателем 
и ненулевым числителем. Но
не корень Q(x), обратное противоречило бы минимальности 
Тогда член со знаменателем не входит в разложение 
значит, члену с таким знаменателем слева не с чем сократиться — но он не входит в правую часть — противоречие.
Итак, мы доказали, что если у многочлена Q есть комплексные корни, то в цепь этого корня входят числа 0 и 1, то есть выполняется равенство 
для какого-то целого m. Если же у Q нет комплексных корней, то он — ненулевая константа, то есть и —
(это еще одно почти тривиальное замечание, не сделав которое можно потерять немного баллов).
Осталось показать, что все значения вида где 
подходят. Для 
достаточно взять функцию
и привести сумму к общему знаменателю, числитель взять в качестве P а знаменатель — Q. Для 
то же самое сделать с суммой
Ответ: 
А — здесь оцениваются продвижения в построении примеров для подходящих d.
A0 Примеры только для значений 1 и −1 стоят 0 баллов.
A7 Явным образом указано Q, на коэффициенты P выписана система линейных уравнений. Сказано, что она верхнетреугольная, но нет упоминания (тем более — доказательства), что на диагонали коэффициенты не нулевые — 7 баллов.
А9 Пример при всех возможных значениях d — ±10 баллов.
B — здесь оцениваются продвижения в доказательстве, что не подходят все не подходящие значения d. Все пункты с этой литерой аддитивны с серией А.
B3 При альтернативном пути решения доказано, что существует некоторый многочлен R(x) (степень которого не зависит от d), такой что R(x)Q(x) делится на 
—
B4 Доказано, что 
делится на —
В6 В лемме о разложении на простейшие нет упоминания, что числитель у любого корня ненулевой — 11 баллов.
B8 Лемма о разложении на простейшие дроби сформулирована но не доказывалась или доказывалась неверно — то же, что в В9
В9 Полное доказательство, что подходят только эти значения d: 22 балла (в сумме с А9 дает максимальный балл по задаче).
Наверх