Всего: 3 1–3
Добавить в вариант
Четыре конуса с общей вершиной попарно касаются друг друга внешним образом. Первые два и последние два конуса имеют одинаковый угол при вершине. Найдите максимальный угол между осями симметрии первого и третьего конусов. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть 2α и 2β — углы при вершине соответственно первого и третьего конусов. Отложим на осях симметрии первых двух конусов разные отрезки OA и OA′. Обозначим середину отрезка AA′ через H. Медиана OH равнобедренного треугольника AOA′ будет так же его высотой и биссектрисой. Поэтому отрезок OH перпендикулярен отрезку AA′, и луч OH является общей образующей первых двух конусов. Отметим на осях симметрии третьего и четвертого конусов точки B и C соответственно. Покажем, что лучи OB и OC лежат в плоскости П, состоящей из точек, равноудаленных от A и A′. Ясно, что
П. Поскольку
треугольники AOB и A′OB равны, откуда 
и 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Положим 
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна BOH и 
так как первый и третий конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды ОВBH формулу трех косинусов, мы получим
Поскольку третий и четвертый конус касаются друг друга, угол COH равен 
или 
Кроме того, четвертый конус касается первых двух. Тогда
по формуле трех косинусов для пирамиды OACH, и в силу (*)
Подставляя эти равенства в (*), мы получим
Тогда 
и
Поэтому 
и 
Равенство реализуется в случае 
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
Три конуса с общей вершиной O касаются друг друга внешним образом. Первые два конуса имеют угол при вершине 
ось симметрии третьего конус перпендикулярна осям симметрии первых двух. Еще один конус с вершиной O касается внешним образом трех других. Найдите его угол при вершине. Углом при вершине конуса называется угол между его образующими в осевом сечении.
Пусть 
2β
Отметим на осях симметрии третьего и четвертого конусов точки B и C соответственно. Покажем, что лучи OB и OC лежат в плоскости П, состоящей из точек, равноудаленных от A и A′. Ясно, что П. Поскольку
треугольники AOB и A′OB; равны, откуда и 
Аналогично проверяется, что луч OC лежит в П.
Положим 
Заметим, что плоскость AOH перпендикулярна COH и 
так как первый и четвертый конусы касаются друг друга. Используя для пирамиды OACH формулу трех косинусов, мы получим
По условию оси симметрии первого и третьего конусов перпендикулярны, то есть 
Кроме того, 
поскольку третий и четвертый конус касаются друг друга. Тогда по формуле трех косинусов для пирамиды ОABH:
Возможны два случая:
1) 
откуда 
2) 
то есть 
Таким образом,
Поэтому из (*) мы получаем
Ответ: 
Общая схема:
0 баллов — выставляется, если участник к решению задачи не приступал или начатый ход решения полностью неверен;
1 балл — выставляется, если участник приступил к решению задачи, указал верное направление решения задачи и получил правильные промежуточные результаты, но при этом не продвинулся настолько, чтобы можно было судить о том, каким образом он собирался получить окончательный ответ (то есть весь ход решения не представлен);
2 балла — выставляется, если выбранный участником ход решения задачи является в принципе правильным, но при этом участник не смог его реализовать в силу серьёзных ошибок;
3 балла — выставляется, если решение является в целом правильным, но содержит ошибки, повлиявшие на ответ;
4 балла — выставляется, если участник решил задачу в целом правильно и получил верный ответ; при этом в решении допускаются незначительные неточности.
Факторы, влияющие на оценку.
1. Одна из основных целей Олимпиады — выявление у обучающихся творческих способностей. Поэтому в случае представления участником интересного оригинального подхода к решению задачи, оценка за решение может быть увеличена на 1 балл.
2. Правильный ответ к задаче, приведенный без достаточных обоснований, либо при наличии ошибок в решении, либо при отсутствии решения, не ведёт к увеличению оценки, которая выставляется участнику за данную задачу.
3. Если участник не довел задачу до ответа, то итоговая оценка за данную задачу не может превышать 1 балл.
4. Если задача решена перебором возможных вариантов, и при этом перебор неполный, то за задачу выставляется до 1 балла. Если участник подобрал частное решение без обоснования и проверил его правильность, то в этом случае за задачу выставляется до 0,5 баллов.
5. Если задача решена при дополнительном предположении, которое отсутствует в условии, то за задачу выставляется
а) до 1 балла, если это предположение можно доказать;
б) до 0,5 баллов, если оно не обязано выполняться, но не противоречит условию задачи;
в) 0 баллов, если оно противоречит условию.
6. Если в работе приведены два решения или ответа к одной задаче, противоречащие друг другу, то за задачу ставится 0 баллов.
На рисунке изображена развертка многогранника, все грани которого равные треугольники. Равные ребра отмечены одинаковым цветом. Найдите объем этого многогранника, если стороны каждой грани имеют длины a, b, c.
Многогранник является октаэдром. Достроим его до тетраэдра, а тетраэдр до параллелепипеда как показано на рисунке.
Противоположные ребра тетраэдра равны между собой и равны удвоенным сторонам грани октаэдра. Тогда у параллелепипеда грани являются прямоугольниками, то
где V0 — объем октаэдра. Пусть 
и 
Из теоремы Пифагора полу чаем следующую систему:
Откуда
Ответ: 
Наверх