За­фик­си­ру­ем мень­шую сто­ро­ну AC. Боль­шая из сто­рон  — AB за­креп­ле­на в одной точке и сво­бод­но вра­ща­ет­ся, об­ра­зуя раз­лич­ные углы. Обо­зна­чим гео­мет­ри­че­ское место точек B. Т. к. центр опи­сан­ной окруж­но­сти лежит на пе­ре­се­че­нии се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров, про­ведём пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную AC и пе­ре­се­ка­ю­щую её в точке K  — се­ре­ди­не AC. Точки, ко­то­рые будут цен­тра­ми опи­сан­ной окруж­но­сти, будут ле­жать на этой пря­мой.

За­ме­тим, что ели угол CAB боль­ше, чем 90°, то центр опи­сан­ной окруж­но­сти точка O  — лежит пра­вее, чем центр опи­сан­ной окруж­но­сти в слу­чае, если угол Зна­чит, чтобы ра­ди­ус окруж­но­сти был ми­ни­маль­ным, угол CAB дол­жен быть боль­ше или равен 90°. Умень­шая угол CAB, за­ме­ча­ем, что точка O дви­жет­ся влево, и, когда угол ACB пре­вы­ша­ет 90°, точка O дви­жет­ся впра­во, т. е. ми­ни­маль­ное рас­сто­я­ние от точки A до точки O по­лу­ча­ем, когда угол Если за­фик­си­ро­ван­ные сто­ро­ны равны, то ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти будет ми­ни­маль­ным, когда угол между ними равен 90°.

Ответ: если тре­тья сто­ро­на со­став­ля­ет угол 90° с мень­шей из за­фик­си­ро­ван­ных сто­рон.