Лев записал в таблицу 11 × 11 целые числа. Оказалось, что каждое число равно сумме чисел, записанных в клетки, имеющие с данной общую вершину или сторону. Могут ли в этой таблице быть различные числа?
Записать такие различные числа невозможно. Если бы такая запись была возможна, то числа, стоящие в красных клетках чётные. Сумма двух соседних синих клеток — чётная.
Сумма четырёх угловых зелёных клеток чётная, если сложить все клетки и заменить их на сумму соседей, то получаем: сумма удвоенных угловых + сумма учетверённых клеток у стенок + 7 умножить на сумму внутренних клеток равна нулю. Отсюда сумма внутренних клеток чётная.
Если бы удалось установить, что каждая клетка может быть только чётной, то это означало бы, что каждая клетка равна 0. В противном случае, мы сокращали бы на 2 каждую клетку в таблице до тех пор, пока одна из клеток не станет нечётной, указанное в условии свойство выполнялось бы.