. Да, такой 2006-уголь­ник су­ще­ству­ет. По­стро­им его.

На ри­сун­ке мно­го­уголь­ник вы­де­лен жир­ным, он со­сто­ит из 2006 рав­ных сто­рон, каж­дая сто­ро­на равна 2006; 2004 сто­ро­ны об­ра­зу­ют рав­ные зубья, тре­уголь­ни­ки типа А, всего таких тре­уголь­ни­ков Вы­со­ты тре­уголь­ни­ков типа А обо­зна­чим h_a. Две остав­ши­е­ся сто­ро­ны об­ра­зу­ют тре­уголь­ник типа В, его вы­со­ту обо­зна­чим h_b. Рас­смот­рим рас­сто­я­ние d (см. рис.). Делая d сколь угод­но малым, мы де­ла­ем пло­щадь 2006-уголь­ни­ка сколь угод­но малой. Найдём пло­щадь по­стро­ен­но­го 2006-уголь­ни­ка в за­ви­си­мо­сти от d.

Пло­щадь 2006-уголь­ни­ка скла­ды­ва­ет­ся из пло­ща­дей 1002 тре­уголь­ни­ков типа А и од­но­го тре­уголь­ни­ка типа В. Ос­но­ва­ние тре­уголь­ни­ка типа А равно Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра и ис­поль­зуя свой­ства рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дим вы­со­ту тре­уголь­ни­ка типа А:

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка типа A:

Ана­ло­гич­но, и пло­щадь тре­уголь­ни­ка типа В:

Тогда, пло­щадь по­стро­ен­но­го 2006-уголь­ни­ка равна

Функ­ция S(d) опре­де­ле­на и не­пре­рыв­на на про­ме­жут­ке (0; 4012) . из по­стро­е­ния (из фор­му­лы S(d)) оче­вид­но, что S(2006) боль­ше пло­ща­ди рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 2006, то есть,

В силу не­пре­рыв­но­сти функ­ции S(d), по тео­ре­ме Коши, на про­ме­жут­ке (0; 4012) су­ще­ству­ет точка d₀, такая, что Итак, мы до­ка­за­ли, что 2006-уголь­ник с ука­зан­ны­ми свой­ства­ми су­ще­ству­ет.

Ответ: 2006-уголь­ник с ука­зан­ны­ми свой­ства­ми су­ще­ству­ет.