Обо­зна­чим две дан­ные сто­ро­ны a и b, а угол между ними По­лу­чим за­ви­си­мость ра­ди­у­са опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти от a, b и γ. Из тео­ре­мы си­ну­сов можно по­лу­чить из­вест­ную фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка: зна­чит, (ис­поль­зу­ем тео­ре­му ко­си­ну­сов):

Оче­вид­но, ра­ди­ус наи­мень­ший, если и толь­ко если его учет­верённый квад­рат наи­мень­ший.

Если то

По­след­нее вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, если зна­ме­на­тель (а зна­чит и ко­си­нус) при­ни­ма­ет наи­боль­шее зна­че­ние, то есть если При этом наи­боль­шее зна­че­ние вы­ра­же­ния Но по усло­вию, угол между дан­ны­ми сто­ро­на­ми по­ло­жи­те­лен, иначе это уже не тре­уголь­ник. Сле­до­ва­тель­но, в этом слу­чае (если тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный) наи­мень­ше­го зна­че­ния нет, тем не менее, ра­ди­ус можно сде­лать сколь угод­но близ­ким к по­ло­ви­не сто­ро­ны.

Пусть те­перь

Обо­зна­чим На этом про­ме­жут­ке найдём наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

Найдём кри­ти­че­ские точки

Пусть (боль­шую сто­ро­ну обо­зна­чим a). Тогда

На про­ме­жут­ке про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на, функ­ция f(t) убы­ва­ет, на про­ме­жут­ке про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, функ­ция f(t) воз­рас­та­ет, в точке функ­ция f(t) при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние. Зна­чит, ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти при­ни­ма­ет наи­мень­шее зна­че­ние, когда ко­си­нус угла между дан­ны­ми сто­ро­на­ми равен от­но­ше­нию мень­шей сто­ро­ны к боль­шей. При этом наи­мень­ший ра­ди­ус удо­вле­тво­ря­ет со­от­но­ше­нию

наи­мень­ший ра­ди­ус равен по­ло­ви­не наи­боль­шей сто­ро­ны.

Ответ: если дан­ные сто­ро­ны равны, то за­да­ча не имеет ре­ше­ния, ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти умень­шая, можно сде­лать сколь угод­но близ­ким к по­ло­ви­не дан­ной сто­ро­ны. Если дан­ные сто­ро­ны раз­лич­ны, то ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти наи­мень­ший, если ко­си­нус угла между двумя дан­ны­ми сто­ро­на­ми равен от­но­ше­нию мень­шей сто­ро­ны к боль­шей. При этом ми­ни­маль­но воз­мож­ный ра­ди­ус равен по­ло­ви­не боль­шей из дан­ных сто­рон. При этом тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный, его ги­по­те­ну­за  — наи­боль­шая из дан­ных сто­рон.