РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10007 Добавить в вариант

Найдите наименьшее натуральное число C, для которого не существует таких натуральных чисел A и B, что $AB плюс AC плюс BC=2006.$

Спрятать решение

Решение.

Если $c=1,$ то существует решение, например, (2; 668).

Если $c=2,$ то существует решение, например, (333; 4).

Если $c=3,$ то существует решение, например, (400; 2).

Если $c=4,$ то существует решение, например, (2; 333).

Если $c=5,$ то решений в натуральных числах нет. Действительно, рассмотрим уравнение

$ab плюс 5 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка =2006;$ $минус 1=2005 минус 5 левая круглая скобка a плюс b правая круглая скобка минус ab.$

Следовательно, ни одного из чисел a и b не кратно 5. Имеем:

$a левая круглая скобка b плюс 5 правая круглая скобка =2006 минус 5 b равносильно a= дробь: числитель: 2006 минус 5 b, знаменатель: b плюс 5 конец дроби .$

Рассмотрим функцию $a левая круглая скобка b правая круглая скобка = дробь: числитель: 2006 минус 5 b, знаменатель: b плюс 5 конец дроби :$

$a левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 2001, знаменатель: 6 конец дроби =333,5.$

Функция $a левая круглая скобка b правая круглая скобка =1,$ если

$2006 минус 5 b=b плюс 5 ; 6 b=2001 равносильно b= дробь: числитель: 2001, знаменатель: 6 конец дроби =333,5.$

Таким образом, если и есть натуральное решение, то оно не превосходит 333 . Из соображений симметрии, очевидно, что если пара (a, b)  — решение, то пара (b, a) тоже решение. Поэтому если есть натуральное решение, то оно есть от 1 до абсциссы точки пересечения графика функции $a левая круглая скобка b правая круглая скобка = дробь: числитель: 2006 минус 5 b, знаменатель: b плюс 5 конец дроби$ и биссектрисы 1 координатной четверти. Найдём эту абсциссу:

$b в квадрате плюс 10 b минус 2006=0 \Rightarrow D=100 плюс 8024=8124,$

откуда

$b= дробь: числитель: минус 10 плюс 90,1332347139499925758533919215515, знаменатель: 2 конец дроби =40,066617356974996287926959607755 .$ $b= дробь: числитель: минус 10 плюс 90,1332347139499925758533919215515, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=40,066617356974996287926959607755 .$ $b=$
$= дробь: числитель: минус 10 плюс 90,1332347139499925758533919215515, знаменатель: 2 конец дроби =$
$=40,066617356974996287926959607755 .$

Поэтому если есть решение, то оно есть среди чисел от 1 до 40. Осуществим перебор, отбрасывая числа b, кратные 5 . Итак, при $c=5$ натуральных решений нет. Следовательно, наименьшее натуральное c, при которых данное уравнение не имеет натуральных решений $c=5.$

Ответ: наименьшее $c=5.$

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 11 класс, Дистанционный тур, 2006 год

Классификатор: Алгебра. Минимаксные задачи без производной, Алгебра. Суммы и произведения

Спрятать решение · Помощь