РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 21 № 10008 Добавить в вариант

Верно ли, что если $0 меньше x меньше 1,$ то $6 левая круглая скобка 6 x минус x в кубе правая круглая скобка минус левая круглая скобка 6 x минус x в кубе правая круглая скобка в кубе больше 4 левая круглая скобка 4 x плюс x в кубе правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 4 x плюс x в кубе правая круглая скобка в кубе ?$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим:

$фи левая круглая скобка x правая круглая скобка =6 x минус x в кубе ;$ $\psi левая круглая скобка x правая круглая скобка =4 x плюс x в кубе .$

Тогда требуется проверить, что при любом $x принадлежит левая круглая скобка 0 ; 1 правая круглая скобка$ верно неравенство $фи левая круглая скобка фи левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка больше \psi левая круглая скобка \psi левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка .$ Рассмотрим это неравенство на отрезке $левая квадратная скобка 0 ; 1 правая квадратная скобка :$

$фи левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =6 минус 1=5 ;$ $\psi левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =4 плюс 1=5;$ $фи левая круглая скобка фи левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка = фи левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =30 минус 125= минус 95;$ $\psi левая круглая скобка \psi левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =\psi левая круглая скобка 5 правая круглая скобка =20 плюс 125=145 .$

Поскольку функции $фи левая круглая скобка фи левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ и $\psi левая круглая скобка \psi левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ непрерывны всюду в области определения $левая круглая скобка минус бесконечность ; плюс бесконечность правая круглая скобка$ как элементарные, то для сколь угодно малого $эпсилон больше 0$ существует $дельта больше 0,$ что как только $x принадлежит левая круглая скобка 1 минус дельта ; 1 правая круглая скобка ,$ тотчас $фи левая круглая скобка фи левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ отличается от −95 не более чем на $эпсилон ,$ и $\psi левая круглая скобка \psi левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ отличается от +145 не более чем на $эпсилон .$ Итак, существует малая, левая окрестность единицы, в которой данное в задаче неравенство нарушается.

Ответ: неравенство неверно.

Олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие», 11 класс, Дистанционный тур, 2006 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в неравенствах

Спрятать решение · Помощь