РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 30 № 1003 Добавить в вариант

Пусть $A_0, A_1, \ldots, A_4$   — вершины правильного пятиугольника, вписанного в единичную окружность с центром O.

а)  Докажите, что $\overlineOA_0 плюс \overlineOA_1 плюс \ldots плюс \overlineOA_4=0.$

б)  Докажите, что $левая круглая скобка A_0A_1 умножить на A_0A_2 правая круглая скобка в квадрате =5.$

в)  Докажите, что многочлен $x в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка плюс x в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс x в степени 8 плюс x в степени 4 плюс 1$ делится на многочлен $x в степени 4 плюс x в кубе плюс x в квадрате плюс x плюс 1.$

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть z_k  — комплексные числа, соответствующие точкам A_k единичной окружности, расположенные так, что $z_0=1.$ Тогда $z_k=z_1 в степени k ,$ а $z_1 в степени 5 =1.$ Утверждение задачи следует из того, что

$1 плюс z_1 плюс z_1 в квадрате плюс z_1 в кубе плюс z_1 в степени 4 = дробь: числитель: 1 минус z_1 в степени 5 , знаменатель: 1 минус z_1 конец дроби =0.$

Заметим, что так как $z_1= косинус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби плюс i синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби ,$ то доказанное тождество имеет следующую тригонометрическую форму

$1 плюс 2 косинус \tfrac2 Пи 5 плюс 2 косинус \tfrac4 Пи 5=0.$

б)  Имеем $A_0A_1=2 синус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 5 конец дроби$ и $A_0A_2=2 синус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 5 конец дроби .$ После небольших преобразований получаем, что искомое тождество равносильно тождеству, указанному в конце решения предыдущего пункта.

в)  Достаточно проверить, что каждый корень второго многочлена является корнем и первого. Корнями второго являются комплексные числа $z_k=z_1 в степени k ,$ k  =  1, 2, 3, 4, причем $z_k в степени 5 =1.$ Таким образом,

$z_k в степени левая круглая скобка 16 правая круглая скобка плюс z_k в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка плюс z_k в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка плюс z_k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1=z_k плюс z_k в квадрате плюс z_k в кубе плюс z_k в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 1=0.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра. Многочлены (делимость, Безу, Виет, бином...), Геометрия: планиметрия. Задачи, где в условии вектор, Геометрия: планиметрия. Окружности и многоугольник

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь