Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
На стороне AC треугольника ABC взяты точки K и L такие, что 
а на сторонах AB и BC — точки M и N такие, что MN и AC параллельны. Докажите, что точка P пересечения прямых MK и NL лежит на медиане треугольника ABC или на ее продолжении.
Решение. Рассмотрим треугольники ABD и MBO: 
—
(как вертикальные), 
Значит, треугольники ABD и MBO подобны (по двум углам). Аналогично, подобны треугольники CBD и NBO. Имеем:
Рассмотрим треугольники MOP и KDP: 
—
(как накрест лежащие), 
(как вертикальные), 
Значит, треугольники MOP и KDP подобны (по двум углам). Аналогично, подобны треугольники NOP и LDP. Получаем следующие соотношения:
— (как вертикальные), Значит, треугольники ABD и MBO подобны (по двум углам). Аналогично, подобны треугольники CBD и NBO. Имеем:
Значит, 
т. е. 
Следовательно, BP — медиана (по определению медианы).