РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 30 № 1007 Добавить в вариант

а)  Какое из чисел больше, $2 в степени левая круглая скобка 300 правая круглая скобка$ или $3 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка ?$

б)  Представьте число 1997 в виде суммы нескольких натуральных слагаемых с максимально возможным произведением.

в)  Докажите, что произведение нескольких положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит $e в степени левая круглая скобка 800 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Преобразуем исходное выражение $2 в степени левая круглая скобка 300 правая круглая скобка = левая круглая скобка 2 в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =8 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка меньше 9 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка =3 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка ,$ поэтому второе число больше.

Ответ: $3 в степени левая круглая скобка 200 правая круглая скобка .$

б)  Число 1997 есть сумма одной двойки и 665 троек, таким образом максимальное значение произведения равно $2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 665 правая круглая скобка .$ Идея рассуждения: если $n=k плюс l,$ где $k больше l\geqslant2,$ то $n меньше kl$ (докажите это). Поэтому произведение $n_1n_2\ldots n_s,$ в котором хотя бы одно из чисел n_i больше четырех, не может быть наибольшим. Так как $4=2 умножить на 2=2 плюс 2,$ то четверки можно из рассмотрения исключить. Таким образом, наибольшее произведение натуральных чисел с заданной суммой следует искать среди произведений двоек и троек. Осталось заметить, что в силу утверждения предыдущего пункта двоек должно быть как можно меньше.

в)  Из неравенства Коши

$дробь: числитель: n_1 плюс n_2 плюс \ldots плюс n_k, знаменатель: k конец дроби \geqslant\root k\ofn_1n_2\ldots n_k$

следует, что произведение k положительных чисел, сумма которых равна 1997, не превосходит $левая круглая скобка дробь: числитель: 1997, знаменатель: k конец дроби правая круглая скобка в степени k ,$ которое, в свою очередь, не превосходит наибольшего значения функции $f левая круглая скобка t правая круглая скобка = левая круглая скобка \tfrac at правая круглая скобка в степени t =e в степени левая круглая скобка t левая круглая скобка натуральный логарифм a минус натуральный логарифм t правая круглая скобка правая круглая скобка$ (при $a=1997$ ). Дифференцируя, получаем

$f' левая круглая скобка t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t правая круглая скобка левая круглая скобка натуральный логарифм a минус натуральный логарифм t минус t\tfrac1t правая круглая скобка =f левая круглая скобка t правая круглая скобка левая круглая скобка \ln\tfrac at минус 1 правая круглая скобка ,$

следовательно, наибольшее значение функции f, которое достигается при $дробь: числитель: a, знаменатель: t конец дроби =e,$ равно $e в степени левая круглая скобка a/e правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка 1997/e правая круглая скобка меньше или равно e в степени левая круглая скобка 800 правая круглая скобка$ (здесь мы воспользовались тем, что $e больше 2,5$ ).

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За каждый из четырех пунктов сюжета выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) Максимум за сюжет 12 баллов. При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Классификатор: Алгебра: числа. Остатки и сравнения, Алгебра: числа. Разные вопросы о целых числах

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь