сайты - меню - вход - но­во­сти


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  На­ри­суй­те гра­фик функ­ции f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка = ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x минус 3x минус | ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 3 x плюс 3x|.

б)  Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­си­нус 2x конец ар­гу­мен­та = синус x плюс ко­си­нус x.

в)  Ре­ши­те не­ра­вен­ство  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \left|x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби | конец ар­гу­мен­та мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ax.

г)  Для того, чтобы обес­пе­чить себя в ста­ро­сти, Джон от­крыл счет в банке и решил еже­год­но вно­сить на него 2,000 $. До­ста­точ­но ли ему ко­пить день­ги 27 лет, чтобы в даль­ней­шем тра­тить по 20,000 $ в год из про­цен­тов, не тро­гая на­коп­лен­ной суммы? Банк дает 10% го­до­вых, а \lg1,\!1=0,\!0414.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  См. ри­су­нок

б)   Воз­во­дя урав­не­ние в квад­рат, по­лу­чим

2 плюс ко­си­нус 2x= синус в квад­ра­те x плюс 2 синус x ко­си­нус x плюс ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но 2 плюс ко­си­нус 2x=1 плюс 2 синус x ко­си­нус x рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но 1 плюс ко­си­нус 2x= синус 2x рав­но­силь­но 1= синус 2x минус ко­си­нус 2x рав­но­силь­но  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби синус 2x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби ко­си­нус 2x рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби синус 2x минус синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус 2x рав­но­силь­но  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но  со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= Пи плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Те­перь нужно вы­брать из этих от­ве­тов толь­ко те, для ко­то­рых  синус x плюс ко­си­нус x боль­ше или равно 0. На­при­мер для x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k нужно вы­би­рать толь­ко чет­ные k, k=2n, ана­ло­гич­но и для x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k нужно вы­би­рать чет­ные k.

в)  Пе­ре­пи­шем не­ра­вен­ство в виде  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \left|x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби | конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно ax. По­стро­им сна­ча­ла гра­фик функ­ции y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та , от­ра­зим его от­но­си­тель­но вер­ти­каль­ной оси (по­лу­чим гра­фик y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \absx конец ар­гу­мен­та ), сдви­нем впра­во на  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби (по­лу­чим гра­фик y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \absx минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та ) и вниз на  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Те­перь рас­смот­рим пря­мые, про­хо­дя­щие через на­ча­ло ко­ор­ди­нат и вы­яс­ним, при каких x точка на пря­мой лежит выше со­от­вет­ству­ю­щей точки на гра­фи­ке или сов­па­да­ет с ней. Пусть для на­ча­ла a силь­но от­ри­ца­тель­ное число. Тогда, оче­вид­но, от­ве­том будет x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Будем те­перь уве­ли­чи­вать a. Си­ту­а­ция будет ме­нять­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом. При не­ко­то­ром a_1 пря­мая прой­дет через точку  левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка и к от­ве­ту до­ба­вит­ся x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Затем пря­мая будет пе­ре­се­кать обе ветви гра­фи­ка и по­явит­ся еще не­боль­шой от­ре­зок между точ­ка­ми пе­ре­се­че­ния. Затем при не­ко­то­ром a_2 пря­мая кос­нет­ся левой ветви гра­фи­ка и от­ве­том будут все x до точки пе­ре­се­че­ния с пра­вой вет­вью. Затем по­явит­ся вто­рая точка пе­ре­се­че­ния с левой вет­вью а от­ве­том будут все x левее этой точки и все от 0 до точки пе­ре­се­че­ния с пра­вой вет­вью.

Это будет про­дол­жать­ся, пока a не ста­нет нулем и пер­вый про­ме­жу­ток не про­па­дет. Затем a ста­нет по­ло­жи­тель­но. x мень­ше 0 под­хо­дить уже не будут, зато по­явит­ся вто­рая точка пе­ре­се­че­ния с пра­вой вет­вью и к от­ве­ту до­ба­вят­ся все точки пра­вее этой точки пе­ре­се­че­ния.

Это будет про­дол­жать­ся, пока пря­мая не ста­нет ка­са­тель­ной к пра­вой ветви при не­ко­то­ром a_3. С этого мо­мен­та будут под­хо­дить все x боль­ше или равно 0. Оста­лось найти все эти точки пе­ре­се­че­ния и опре­де­лить кон­крет­ные зна­че­ния a_1, a_2, a_3.

Решим урав­не­ние ax= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби для по­ис­ка точек пе­ре­се­че­ния с левой вет­вью, по­лу­чим

ax плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но a в квад­ра­те x в квад­ра­те плюс ax плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x рав­но­силь­но a в квад­ра­те x в квад­ра­те плюс ax плюс x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те x плюс a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,a в квад­ра­те x= минус a минус 1 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=0,x= минус дробь: чис­ли­тель: a плюс 1, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Ино­гда этот ко­рень будет по­сто­рон­ним, но нам это не­важ­но, по­сколь­ку мы уже опре­де­ли­ли по ри­сун­ку си­ту­а­ции, когда он будет на самом деле.

Решим урав­не­ние ax= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби для по­ис­ка точек пе­ре­се­че­ния с пра­вой вет­вью, тогда

ax плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но a в квад­ра­те x в квад­ра­те плюс ax плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но a в квад­ра­те x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0 рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 1 минус a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 4 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 минус 2a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 минус a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби .

Из этих двух кор­ней ино­гда нужен толь­ко один  — тогда это мень­ший ко­рень, y= дробь: чис­ли­тель: 1 минус a\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби . Вто­рой со­от­вет­ству­ет пе­ре­се­че­нию с ниж­ней вет­вью па­ра­бо­лы  левая круг­лая скоб­ка y плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те =x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , ко­то­рая не от­но­сит­ся к гра­фи­ку (на ри­сун­ке по­ка­за­на пунк­ти­ром) a_1 можно найти из урав­не­ния  минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на a, от­ку­да a= минус 2 и a_2 равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной к линии y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби в точке x=0, то есть про­из­вод­ной от дан­ной функ­ции в точке x=0. Решим

y'= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка '= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус x конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что при x=0 дает  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец ар­гу­мен­та конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 1.

На­ко­нец a_3 долж­но быть таким по­ло­жи­тель­ным чис­лом, при ко­то­ром скле­и­ва­ют­ся точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с пра­вой вет­вью гра­фи­ка, от­ку­да

 минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1=0 рав­но­силь­но a в квад­ра­те плюс 2a минус 1=0 рав­но­силь­но a= минус 2\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

По­сколь­ку a_3 боль­ше 0, сле­ду­ет вы­брать a= минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Те­перь можно на­пи­сать ответ.

При a мень­ше минус 2 x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a= минус 2 x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

При a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: a плюс 1, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a= минус 1 x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус дробь: чис­ли­тель: a плюс 1, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a=0 x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

При a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус a в квад­ра­те минус 2a плюс 1 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби ; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

При a боль­ше или равно минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

г)  На пер­вые его 2 000 банк на­чис­лит про­цен­ты 26 раз, на вто­рые −25 и так далее, по­это­му общий раз­мер его вкла­да со­ста­вит

2000 умно­жить на 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 26 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2000 умно­жить на 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс 2000=2000 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 26 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 25 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс \ldots плюс 1,1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =
= 2000 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 1,1 минус 1 конец дроби = 2000 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, зна­ме­на­тель: 0,1 конец дроби =20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Если вы­честь из этой суммы 20000 дол­ла­ров и потом на­чис­лить на оста­ток 10\%, то вклад со­ста­вит

 левая круг­лая скоб­ка 20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 20000 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на 1,1=20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка 1,1=20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 1,1

и нужно срав­нить это число с преды­ду­щим остат­ком по вкла­ду. До­ка­жем, что оно боль­ше, тогда он смо­жет жить на про­цен­ты с вкла­да. Срав­ним

20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 1,1 боль­ше 20000 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но  левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 1,1 боль­ше левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка 11 боль­ше 10 левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 11 умно­жить на 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 22 боль­ше 10 умно­жить на 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 10 рав­но­силь­но 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 12.

За­ме­тим, что

1,1 в сте­пе­ни 5 =1,1 в квад­ра­те умно­жить на 1,1 в кубе =1,21 умно­жить на 1,331=1,61051 боль­ше 1,6,

по­это­му

1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка =1,1 в квад­ра­те умно­жить на 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 25 пра­вая круг­лая скоб­ка =1,1 в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1,1 в сте­пе­ни 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 5 боль­ше 1,21 умно­жить на 1,6 в сте­пе­ни 5 =1,21 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 10 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 5 =
=1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 16 в сте­пе­ни 5 , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни 5 , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 20 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =
=1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1024 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби боль­ше 1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1000 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =1,21 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 10 в сте­пе­ни 6 , зна­ме­на­тель: 10 в сте­пе­ни 5 конец дроби =1,21 умно­жить на 10=12,1 боль­ше 12.

Зна­ние  де­ся­тич­ный ло­га­рифм 1,1 не при­го­ди­лось. Чтобы его нор­маль­но ис­поль­зо­вать, нужно, ка­жет­ся, тра­тить по 18 тысяч. Тогда надо будет до­ка­зы­вать, что 1,1 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 27 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 10, что верно по­сколь­ку 27\lg1,1 боль­ше 1.

 

Ответ:

б)   левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи n : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ;

в)   x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка при  a боль­ше ко­рень из 2 минус 1;  x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; x_1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка x_2; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка при  0 мень­ше a мень­ше или равно ко­рень из 2 минус 1; x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при  a=0;  x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; x_3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 0; x_1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при  минус 1 мень­ше или равно a мень­ше 0;  x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка x_3; x_1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при  минус 2 мень­ше или равно a мень­ше минус 1;  x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; 0 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка при  a мень­ше минус 2, где x_1= дробь: чис­ли­тель: 1 минус a минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби , x_2= дробь: чис­ли­тель: 1 минус a плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус 2a минус a в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2a в квад­ра­те конец дроби , x_3= минус дробь: чис­ли­тель: a плюс 1, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те конец дроби ;

г)  да, до­ста­точ­но.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

За каж­дый из че­ты­рех пунк­тов сю­же­та вы­став­ля­ет­ся одна из сле­ду­ю­щих оце­нок:

+ (3 балла),    ± (2 балла),    ∓ (1 балл),    − (0 бал­лов)

Мак­си­мум за сюжет 12 бал­лов. При этом не­об­хо­ди­мо ру­ко­вод­ство­вать­ся сле­ду­ю­щим.

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нийБаллы
Вер­ное и пол­ное вы­пол­не­ние за­да­ния3
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­щен один не­до­чет2
Ход ре­ше­ния вер­ный, ре­ше­ние до­ве­де­но до от­ве­та, но до­пу­ще­но два не­до­че­та или одна гру­бая ошиб­ка1
Осталь­ные слу­чаи0

К не­до­че­там от­но­сят­ся, на­при­мер: опис­ки, не­точ­но­сти в ис­поль­зо­ва­нии ма­те­ма­ти­че­ской сим­во­ли­ки; по­греш­но­сти на ри­сун­ках, не­до­ста­точ­но пол­ные обос­но­ва­ния; не­точ­но­сти в ло­ги­ке рас­суж­де­ний при срав­не­нии чисел, до­ка­за­тель­стве тож­деств или не­ра­венств; вы­чис­ли­тель­ные ошиб­ки, не по­вли­яв­шие прин­ци­пи­аль­но на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шие за­да­чу, если за­да­ча не яв­ля­лась вы­чис­ли­тель­ной; за­ме­на стро­го знака не­ра­вен­ства не­стро­гим или на­о­бо­рот; не­вер­ное при­со­еди­не­ние либо ис­клю­че­ние гра­нич­ной точки из про­ме­жут­ка мо­но­тон­но­сти и ана­ло­гич­ные.

Гру­бы­ми ошиб­ка­ми яв­ля­ют­ся, на­при­мер: по­те­ря или при­об­ре­те­ние по­сто­рон­не­го корня; не­вер­ный отбор ре­ше­ния на про­ме­жут­ке при пра­виль­ном ре­ше­нии в общем виде; вы­чис­ли­тель­ная ошиб­ка в за­да­че на вы­чис­ле­ние; не­вер­ное из­ме­не­ние знака не­ра­вен­ства при умно­же­нии на от­ри­ца­тель­ное число, ло­га­риф­ми­ро­ва­нии или по­тен­ци­ро­ва­нии и т. п.