а) Найдите все целые k, при которых разрешимо уравнение
б) Найдите все целые решения уравнения
в) Найдите все натуральные решения уравнения
а) Не следует пугаться присутствующих в условии обратных тригонометрических функций. Поскольку то после замены получим уравнение Полученное уравнение разрешимо, если число входит в множество значений функции Для его нахождения можно стандартным образом исследовать функцию при помощи производной, а можно воспользоваться оценками
(заметим, что эти неравенства обращаются в равенства, соответственно, при или и ). Следовательно, множеством значений функции f является отрезок Значит, решение исходного уравнения существует тогда и только тогда, когда откуда и получаем ответ.
Ответ:
б) Из равенства получаем, что откуда следует, что число должно быть полным квадратом,
Ответ:
в) Докажите вначале следующее утверждение.
Лемма. Если и то
Ответ: