а) Решите систему
б) Существует ли многочлен имеющий восемь различных действительных корней, все коэффициенты ai которого по модулю не превосходят 0,001?
в) Докажите неравенство
а) Из первого уравнения получаем или Разберем два случая.
Если то или При получим и второе уравнение примет вид отсюда При получим и второе уравнение примет вид т. е.
Если то можно поменять мысленно местами x и y и получить предыдущий случай.
Ответ:
б) Да, существует. Рассмотрим многочлен
Пусть и Рассмотрим тогда многочлен
Этот многочлен имеет корни и его коэффициенты не превосходят
в) Обозначим Тогда неравенство можно записать в виде
Что верно, поскольку поэтому и