сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 с ос­но­ва­ни­ем ABC, длины всех рёбер ко­то­рой равны между собой. На рёбрах A1C1, B1B и BC от­ме­че­ны точки P, Q и R со­от­вет­ствен­но, причём A1P: A_1 C_1=2: 5, B_1 Q: B_1 B=1: 4 и BR:BC=3:5. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми PQR и ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра приз­мы равна a, M  — се­ре­ди­на AC, K  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых QR и C1C, L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых PK и AC. Тре­уголь­ни­ки QBR и KCR по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия k= дробь: чис­ли­тель: B R, зна­ме­на­тель: C R конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , по­это­му

KC= дробь: чис­ли­тель: QB, зна­ме­на­тель: k конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 a, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тре­уголь­ни­ки KCL и KC1P по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

n= дробь: чис­ли­тель: K C, зна­ме­на­тель: K C_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,5 a, зна­ме­на­тель: 0,5 a плюс a конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,

от­сю­да

C L=n умно­жить на C_1 P= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3 a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

За­ме­тим, что

дробь: чис­ли­тель: C L, зна­ме­на­тель: C M конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 2= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: C R, зна­ме­на­тель: C B конец дроби ,

по­это­му L R \| M B и L R \perp A C. По­это­му ис­ко­мый угол равен углу PLA и

тан­генс \angle P L A= дробь: чис­ли­тель: A_1 A, зна­ме­на­тель: C_1 P минус C L конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: 2,5.

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024