а) Существует ли геометрическая прогрессия, среди членов которой имеются числа 2, 3 и 5?
б) Решите уравнение 
(здесь 
— это целая часть числа, т. е. наибольшее целое число, его не превосходящее).
в) Найдите количество лежащих на кривой 
точек плоскости, координаты которых суть целые числа.
г) Два шахматиста играют матч до первой победы. Известно, что во встречах друг с другом каждый из них, играя белыми фигурами, побеждает с вероятностью 
а проигрывает с вероятностью 
(тем самым с вероятностью в каждой из партий фиксируется ничья). Если в 40 партиях матча будет зафиксирована ничья, то для определения победителя кидают жребий. Оцените (с разумной точностью) шансы на выигрыш того игрока, с хода которого начнется этот матч.
а) Действительно, если 
и 
то 
т. e. 
что невозможно.
Ответ: Нет, не существует.
б) Так как левая часть уравнения может принимать лишь значения 
то осуществим перебор.
Пусть 
Тогда 
откуда 
Имеем 
так что 
и этот случай невозможен.
Пусть 
или 
В первом случае 
Из 
(
), поэтому число k должно быть четным. Во втором случае, наоборот, n — нечетно. Поэтому 
или 
Пусть 
Таким образом, 
Пусть 
или 
В этом случае 
так что решений нет.
Наконец, пусть 
Тогда 
а число k должно быть четно. Таким образом, 
Ответ: 
в) Имеем: 
Так как числа x + y и x − y, будучи целыми, имеют одинаковую четность, то 
и 
где 
Таким образом, количество решений данного уравнения совпадает с количеством чисел 
Ответ: 24 точки.
г) Вероятность того, что все 40 партий закончатся вничью, равна 
поэтому будем считать, что матч продолжается до первой победы. Вероятность победы игрока, который в первой партии играет белыми фигурами, равна сумме ряда
здесь 
— вероятности его победы при игре белыми, соответственно, черными фигурами, 
— вероятность ничьи.
Другое решение: Искомая вероятность является решением уравнения 
Ответ: шансы первого игрока — 
так как вероятность его победы почти равна 