РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1130 Добавить в вариант

Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение $x_1 в степени 4 плюс x_2 в степени 4 плюс ... плюс x_13 в степени 4 =2017?$

Спрятать решение

Решение.

Если x  — четно, то $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка \equiv 0 левая круглая скобка \bmod 16 правая круглая скобка ,$ а если x  — нечетно, то $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка \equiv 1 левая круглая скобка \bmod 16 правая круглая скобка .$ Так как

$2017=16 умножить на 126 плюс 1 левая круглая скобка \bmod 16 правая круглая скобка ,$

то ровно одно x_k  — нечетно, остальные четны.

1)  Пусть это нечетно число равно 1, для определенности возьмем $x_13=1,$ остальные  — четные. Тогда

$левая круглая скобка 2 y_1 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 y_2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс левая круглая скобка 2 y_12 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка плюс правая круглая скобка 1=1 плюс 16 умножить на 126 y_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс y_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс y_12 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =126.$

Имеем: $126=7 умножить на 16 плюс 14.$ Слева сумма остатков при делении на 16 не превышает 12, следовательно, решений нет.

2)  Пусть $x_13=3,$ тогда придем к уравнению

$y_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс y_2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс y_12 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =121=7 умножить на 16 плюс 9.$

Значит, ровно $9 y_k$ нечетны, а 3  — четны. Четные y_k не могут быть больше 2, так как $4 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =256.$ Значит, они равны по 2:

$y_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс y_9 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =7 умножить на 16 плюс 9,$ $y_1 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс y_9 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =73.$

Нечетные y_k не могут быть больше 1, так как $3 в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =81 больше 73,$ значит, все они равны 1. Но $9 умножить на 1 меньше 73,$ следовательно, решений нет.

3)  Пусть $x_13=5,$ тогда:

Значит, ровно 7 нечетных, 5  — четных, следовательно,

$левая круглая скобка y_k правая круглая скобка = левая круглая скобка 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2 правая круглая скобка .$

$левая круглая скобка x_k правая круглая скобка = левая круглая скобка 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 5 правая круглая скобка$

и перестановки этих чисел.

Ответ: $дробь: числитель: 13 !, знаменатель: 7 ! умножить на 5 ! конец дроби .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в уравнениях

Спрятать решение · Помощь