В прямоугольный треугольник ABC 
вписана окружность Γ с центром I, которая касается сторон AB и BC в точках K и L соответственно. Прямая, проходящая через точку I, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите радиус окружности Γ, если 
Найдите AC, если дополнительно известно, что прямая MN параллельна AC.
Углы KIM и LNI равны как соответственные при параллельных прямых BC и KI, поэтому прямоугольные треугольники KIM 
или (если обозначить радиус окружности за r) 
откуда 
Тогда
следовательно,
Пусть h — высота треугольника BMN, проведённая из вершины прямого угла B. Тогда площадь треугольника BMN можно выразить двумя способами:
поэтому
Если MN параллельна AC, то треугольники BAC и BMN подобны, а коэффициент их подобия k равен отношению высот этих треугольников, проведённых из вершины B. Остаётся заметить, что высота треугольника 
проведённая из B, равна
Отсюда
и 
Ответ: 
