В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD, и в каждый из полученных треугольников ABD и BCD вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA в точке M. При этом Аналогично, прямая, проходящая через вершину D и центр второй окружности, пересекает сторону BC в точке N. При этом
а) Найдите отношение AB : CD.
б) Найдите длины сторон AB и CD, если дополнительно известно, что данные окружности
касаются друг друга.
а) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам,
и 
Следовательно,
б) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник ABD, с его сторонами AB, AD, BD через P, F, K соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник BCD с его сторонами BC, CD, BD — через Q, E, K соответственно (по условию точка касания со стороной BD общая). Пусть 
Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения
В пункте а) было получено, что 
откуда
Тогда 
и 
Ответ: а) 
