В треугольнике ABC сторона AC равна 6, а угол ABC равен 120° Окружность 
радиуса 3 касается сторон BC и AC треугольника ABC в точках K и L соответственно и пересекает сторону AB в точках M и N (M лежит между A и N) так, что отрезок MK параллелен AC. Найдите длины отрезков CL, MK, AB и площадь треугольника ANL.
Обозначим центр окружности через O, основание высоты треугольника проведённой из вершины C, через H, а угол BAC
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то
По сумме углов четырёхугольника OLCK находим, что 
Поскольку OL перпендикуляра AC и MK параллельна AC, то OL и MK — перпендикулярны. Треугольник MOK равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,
Отсюда
Тогда
и 
следовательно, треугольник MOL — равносторонний, 
и 
Отсюда
Рассмотрим треугольник ALM. По теореме косинусов получаем, что
По теореме о касательной и секущей 
откуда 
У треугольников 
и 
общая высота, проведённая из вершины L, поэтому их площади относятся как основания, т. е. как 
Следовательно,
Так как KM и AC — параллельны, треугольники BKM и BCA подобны, при этом коэффициент подобия равен 
Отсюда следует, что
Ответ: 
