Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P. Известно, что расстояния от точки P до сторон AB, BC, CD, DA равны 4, 
и 
соответственно (основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны, лежат на этих сторонах).
а) Найдите отношение AP : PC.
б) Найдите длину диагонали BD, если дополнительно известно, что AC = 10.
В силу того, что вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, 
и 
Следовательно, треугольники PBC и PDA подобны. Аналогично доказывается, что 
Соответствующие элементы подобных фигур относятся как коэффициент подобия. В данном случае в качестве соответствующих элементов выступают высоты, проведённые из вершины P. Отсюда находим, что коэффициент подобия равен 
для первой пары и 
для второй пары.
Пусть 
Тогда
Значит,
Если 
то 
отсюда 
Следовательно,
Ответ: 
