РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1171 Добавить в вариант

Уравнение $x в квадрате плюс ax плюс 3=0$ имеет два различных корня x₁ и x₂; при этом

$x_1 в кубе минус дробь: числитель: 99, знаменатель: 2x_2 в квадрате конец дроби =x_2 в кубе минус дробь: числитель: 99, знаменатель: 2x_1 в квадрате конец дроби .$

Найдите все возможные значения a.

Спрятать решение

Решение.

Для существования корней уравнения его дискриминант должен быть положителен, откуда $a в квадрате минус 12 больше 0 .$ При этом условии по теореме Виета $x_1 плюс x_2= минус a$ и $x_1 x_2=3 .$ Тогда

$x_1 в квадрате плюс$ $x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=a в квадрате минус 3 .$

Преобразуем данное равенство:

$x_1 в кубе минус x_2 в кубе минус дробь: числитель: 99, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате , знаменатель: x_1 в квадрате x_2 в квадрате конец дроби =0 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 99 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0$ $x_1 в кубе минус x_2 в кубе минус дробь: числитель: 99, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в квадрате минус x_2 в квадрате , знаменатель: x_1 в квадрате x_2 в квадрате конец дроби =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка минус дробь: числитель: 99 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка , знаменатель: 2 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =0$

Поскольку корни различны, $x_1 минус x_2 не равно q 0 .$ Разделив обе части на $x_1 минус x_2$ и подставляя указанные выше значения, получаем

$a в квадрате минус 3 плюс дробь: числитель: 99 a, знаменатель: 18 конец дроби =0 равносильно 2 a в квадрате плюс 11 a минус 6=0,$

откуда $a=0,5$ или $a= минус 6.$ Неравенству $a в квадрате минус 12 больше 0$ удовлетворяет только $a= минус 6.$

Ответ: $a=−6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Данное равенство преобразовано и сокращено на $левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка$  — 1 балл.

Получено квадратное уравнение относительно параметра — 2 балла.

Найдены значения параметра — 1 балл.

Сделан отбор корней — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1164: 1171 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь