РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1185 Добавить в вариант

Уравнение $x в квадрате плюс ax плюс 8=0$ имеет два различных корня x₁ и x₂; при этом

$x_1 минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 17x_2 в кубе конец дроби =x_2 минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 17x_1 в кубе конец дроби .$

Найдите все возможные значения a.

Спрятать решение

Решение.

Для существования корней уравнения его дискриминант должен быть положителен, откуда $a в квадрате минус 32 больше 0 .$ При этом условии по теореме Виета $x_1 плюс x_2= минус a$ и $x_1 x_2=8.$ Тогда

$x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате = левая круглая скобка x_1 плюс x_2 правая круглая скобка в квадрате минус x_1 x_2=a в квадрате минус 8 .$

Преобразуем данное равенство:

$x_1 минус x_2 минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 17 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 64 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 17 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0.$ $x_1 минус x_2 минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 17 конец дроби умножить на дробь: числитель: x_1 в кубе минус x_2 в кубе , знаменатель: x_1 в кубе x_2 в кубе конец дроби =0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка минус дробь: числитель: 64 левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка левая круглая скобка x_1 в квадрате плюс x_1 x_2 плюс x_2 в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 17 левая круглая скобка x_1 x_2 правая круглая скобка в кубе конец дроби =0.$

Поскольку корни различны, $x_1 минус x_2 не равно q 0 .$ Разделив обе части на $x_1 минус x_2$ и подставляя указанные выше значения, получаем

$1 минус дробь: числитель: 64, знаменатель: 17 конец дроби умножить на дробь: числитель: a в квадрате минус 8, знаменатель: 512 конец дроби =0 равносильно a в квадрате минус 144=0,$

откуда $a=\pm 12 .$ Неравенству $a в квадрате минус 32 больше 0$ удовлетворяют оба найденных значения параметра.

Ответ: $a=\pm 12.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Данное равенство преобразовано и сокращено на $левая круглая скобка x_1 минус x_2 правая круглая скобка$  — 1 балл.

Получено квадратное уравнение относительно параметра — 2 балла.

Найдены значения параметра — 1 балл.

Сделан отбор корней — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1178: 1185 Все

Олимпиада школьников Физтех, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Задачи с параметрами. Параметр и квадратных трехчлен

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь