Назовём расстоянием между числами модуль их разности. Известно, что сумма расстояний от тридцати трёх последовательных натуральных чисел до некоторого числа a равна 3168, а сумма расстояний от этих же тридцати трёх чисел до некоторого числа b равна 924. Найдите все возможные значения a, если известно, что a + b = 120.
Обозначим данные последовательные натуральные числа через 
..., 
то сумма расстояний от него до данных тридцати трёх чисел не превосходит 
(сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна 32, сумма расстояний до 
и 
не превосходит 32, сумма расстояний до 
и 
также не превосходит 32 и т. д.; расстояние до 
не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т. е. 16). Следовательно, числа a и b лежат вне отрезка 
Тогда сумма расстояний от числа a до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой
Аналогично, сумма расстояний от числа b до каждого из данных чисел равна 
Получаем систему уравнений
Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля. 1) Оба числа a и b лежат справа от отрезка Тогда
2) Оба числа a и b лежат слева от отрезка 
Тогда
3) Число a лежит справа, а 
слева от отрезка Тогда
4) Число b лежит справа, а 
слева от отрезка Тогда
Итак, возможны три случая: 
Ответ: 
