РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1234 Добавить в вариант

На сторонах треугольника ABC отметили точки: 10  — на стороне AB, 11  — на стороне BC, 12  — на стороне AC. При этом ни одна из вершин треугольника не отмечена. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Спрятать решение

Решение.

Три точки из 33 данных можно выбрать $C_33 в кубе =5456$ способами. При этом треугольник образуется во всех случаях за исключением того, когда все три точки лежат на одной стороне треугольника. Итак, не подходят

$C_12 в кубе плюс C_11 в кубе плюс C_10 в кубе =220 плюс 165 плюс 120=505$ способов.

Значит, всего есть $5456 минус 505=4951$ треугольник.

Ответ: 4951.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Верно описано множество всех искомых треугольников — 1 балл.

Разобран только случай, когда на каждой стороне исходного треугольника находится по одной вершине нового треугольника — 1 балл.

Если задача разбором случаем и при этом хотя бы один случай пропущен или рассмотрен, существенно верно — не более 3 баллов за задачу.

Аналоги к заданию № 1234: 1241 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2017 год

Классификатор: Комбинаторика, вероятность, статистика. Размещения, перестановки и сочетания, Комбинаторика, вероятность, статистика. Комбинаторика и вероятность в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь