Найдите все значения параметра a, при которых система
а) имеет ровно 3 решения;
б) имеет ровно 2 решения.
Первое уравнение системы не меняется при замене x на x — и/или y на −y. Следовательно, множество точек, задаваемых первым уравнением симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти получаем часть прямой 
—
Второе уравнение системы может быть записано в виде 
Оно задаёт окружность с центром 
При 
решений нет, так что рассмотрим случай окружности.
а) И ромб, и окружность симметричны относительно оси абсцисс, следовательно, 3 решения возможны только в том случае, когда одна из общих точек окружности и ромба лежит на оси абсцисс. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку QA или отрезку QC, т. е. 
или 
Несложно видеть, что при система имеет 3 решения, а при 
решений. Значит, 3 решения возможны только при 
б) Пусть 
—
— радиус той окружности, которая касается сторон AB и AD ромба. Система имеет ровно два решения в том и только том случае, когда
Тогда 
отсюда 
Пусть окружность радиуса касается стороны AB в точке J, а окружность радиуса 
касается стороны BC в точке L. Треугольник CLQ — прямоугольный, 
равен угловому коэффициенту прямой BC, то есть 
Тогда
По теореме Пифагора для треугольника CLQ получаем
откуда 
Поскольку треугольники JQA и LQC подобны и коэффициент подобия равен 
то
Окончательно получаем
Ответ: а)
б) 