РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 127 Добавить в вариант

Найти все решения уравнения: $\operatorname косинус в квадрате x плюс \operatorname косинус в квадрате 2 x плюс \operatorname косинус в квадрате 3 x=1.$

Спрятать решение

Решение.

Можно, действуя прямо в лоб, заменить $\operatorname косинус 2 x=2 \operatorname косинус в квадрате x минус 1, \operatorname косинус 3 x=4 \operatorname косинус в кубе x минус 3 \operatorname косинус x,$ после преобразований получим: $8 косинус в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка x минус 10 косинус в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка x плюс 3 косинус в квадрате x=0,$ откуда $\operatorname косинус x=0,\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Следовательно, $x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 k Пи ,\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: l Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс m Пи .$

Можно решать по-другому, заменить квадраты косинусов через косинусы двойного угла, получив $\operatorname косинус 2 x плюс \operatorname косинус 4 x плюс \operatorname косинус 6 x= минус 1,$ затем свернуть сумму первого и третьего слагаемых в удвоенное произведение косинусов, выразить всё через $косинус 2x,$ получив уравнение $2 косинус в кубе 2x плюс косинус в квадрате 2x минус косинус 2x=0$ с решениями $\operatorname косинус 2 x=0, минус 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $x =\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 k Пи ,\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: \l Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс m Пи .$

Примечание: Во всём решении k, l, m берутся из множества целых чисел.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верное решение.	7
Нахождение значений $\operatorname косинус x=0,\pm дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби ,\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ или $\operatorname косинус 2 x=0, минус 1, дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$ .	4
Верное выписывание всех серий решений.	3
Потеря части решений.	4-5
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.	0
Максимальный балл	7

Всесибирская олимпиада школьников, 11 класс, 1 тур (отборочный), 2017 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрические уравнения, Методы тригонометрии. Формулы двойных углов, Методы тригонометрии. Формулы кратных углов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь