Про­ведём через дан­ную точку (55; 40) вер­ти­каль­ную и го­ри­зон­таль­ную пря­мые и Воз­мож­ны два ва­ри­ан­та.

а)  Вер­ши­ны квад­ра­та лежат на этих пря­мых (а его диа­го­на­ли па­рал­лель­ны осям ко­ор­ди­нат). Тогда "ниж­няя" вер­ши­на квад­ра­та может быть рас­по­ло­же­на 39 спо­со­ба­ми: (55; 1), (55; 1), ..., (55; 39) (по­ло­же­ние осталь­ных вер­шин при этом опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но).

б)  Вер­ши­ны квад­ра­та не лежат на ука­зан­ных пря­мых. Это озна­ча­ет, что вер­ши­ны лежат по одной в каж­дой из четырёх ча­стей, на ко­то­рые пря­мые и раз­де­ля­ют плос­кость. Рас­смот­рим «левую ниж­нюю» вер­ши­ну (её ме­сто­по­ло­же­ние од­но­знач­но опре­де­ля­ет осталь­ные вер­ши­ны). Для того, чтобы ко­ор­ди­на­ты всех вер­шин квад­ра­та ока­за­лись на­ту­раль­ны­ми, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы эта вер­ши­на по­па­ла в квад­рат и По­лу­ча­ем спо­со­бов. Общее ко­ли­че­ство спо­со­бов равно

Ответ: 1560.