РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1285 Добавить в вариант

Внутренняя точка P остроугольного треугольника ABC удовлетворяет условию

$AB в квадрате плюс PC в квадрате =BC в квадрате плюс AP в квадрате =AC в квадрате плюс BP в квадрате .$

Чем является точка точка P для треугольника ABC?

Спрятать решение

Решение.

Проведем перпендикуляр PH к стороне AC и высоту BK. По теореме Пифагора $A B в квадрате минус A K в квадрате =B C в квадрате минус C K в квадрате$ или $A B в квадрате минус B C в квадрате =A K в квадрате минус C K в квадрате .$ Hо по условию $A B в квадрате минус B C в квадрате =A P в квадрате минус P C в квадрате .$ С другой стороны имеем, что $A P в квадрате минус A H в квадрате =P C в квадрате минус H C в квадрате$ или $A P в квадрате минус P C в квадрате =A H в квадрате минус H C в квадрате .$ Тогда

$A B в квадрате минус B C в квадрате =A K в квадрате минус C K в квадрате =A P в квадрате минус P C в квадрате =A H в квадрате минус H C в квадрате \Rightarrow A K в квадрате минус C K в квадрате =A H в квадрате минус H C в квадрате .$ $A B в квадрате минус B C в квадрате =A K в квадрате минус C K в квадрате =A P в квадрате минус P C в квадрате =A H в квадрате минус H C в квадрате \Rightarrow$
$\Rightarrow A K в квадрате минус C K в квадрате =A H в квадрате минус H C в квадрате .$

Следовательно, точки H и K совпадают, тогда точка P лежит на высоте BK Аналогично доказывается, что точка Р лежит на двух других высотах треугольника ABC, откуда следует, что точка P является точкой пересечения высот треугольника ABC.

Ответ: точкой пересечения высот треугольника ABC.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник произвольный, Методы геометрии. Свойства центроида, инцентра, ортоцентра

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь