РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1288 Добавить в вариант

Коэффициенты квадратных трехчленов $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс mx плюс n$ и $p левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате плюс kx плюс l$ удовлетворяют условию k > m > n > l > 0. Возможно ли, чтобы f(x) и p(x) имели общий корень?

Спрятать решение

Решение.

Предположим, что f(x) и g(x) имеют общий корень x₀. Так как все коэффициенты многочленов положительны, то все корни (если они есть) отрицательны, следовательно, x₀ < 0. Общий корень x₀ удовлетворяет условию x₀(m − k)  =  l − n. Учитывая условие, что k > m > n > l > 0 получим, что m − k < 0, l − n < 0, откуда следует, что x₀ > 0. Получили противоречие.

Ответ: нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания	Баллы
Полное обоснованное решение	7
Обоснованное решение с несущественными недочетами	6
Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений	5−6
Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев	4
Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи	2−3
Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные) случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении	1
Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Открытая олимпиада вузов Томской области, 8 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Квадратный трёхчлен, т. Виета, Разное. Доказательство от противного

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь