РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1295 Добавить в вариант

В равнобедренной трапеции MNKL с основаниями ML, NK диагонали перпендикулярны сторонам MN, KL и пересекаются под углом $22,5 градусов.$ Найдите высоту трапеции, если длина $NQ=3,$ где Q  — середина большего основания.

Спрятать решение

Решение.

Пусть ML большее основание трапеции MNKL. Рассмотрим треугольник

$M N L: \angle M N L=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

где Q  — середина ML (по условию), следовательно, Q  — середина гипотенузы

$M L \Rightarrow N Q=M Q=Q L \Rightarrow M L=6,$

так как $N Q=3$ (по условию). Пусть точка О  — точка пересечения диагоналей, точка H  — основание перпендикуляра, опущенного из K на основание ML, тогда KH  — искомая высота.

Рассмотрим треугольник MOL: $\angle K O L=22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$   — внешний угол в равнобедренном треугольнике

$M O L \Rightarrow \angle O M L=\angle O L M=11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Рассмотрим треугольник MKL: $\angle M K L=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ $M K=M L умножить на косинус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Рассмотрим треугольник MKH: $\angle M H K=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$ тогда искомая высота

$K H=M K умножить на синус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =M L умножить на косинус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$
$=3 синус 22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =3 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ $K H=M K умножить на синус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$
$=M L умножить на косинус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка умножить на синус 11,25 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =3 синус 22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =$
$=3 корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1 минус косинус 45 в степени левая круглая скобка \circ конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 2 минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби$ $левая круглая скобка 3 синус 22,5 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Баллы	Критерии оценивания
7	Полное обоснованное решение.
6	Обоснованное решение с несущественными недочетами.
5−6	Решение содержит незначительные ошибки, пробелы в обоснованиях, но в целом верно и может стать полностью правильным после небольших исправлений или дополнений.
4	Задача в большей степени решена, чем не решена, например, верно рассмотрен один из двух (более сложный) существенных случаев.
2−3	Задача не решена, но приведены формулы, чертежи, соображения или доказаны некоторые вспомогательные утверждения, имеющие отношение к решению задачи.
1	Задача не решена, но предпринята попытка решения, рассмотрены, например, отдельные (частные случаи при отсутствии решения или при ошибочном решении.
0	Решение отсутствует, либо решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.

Открытая олимпиада вузов Томской области, 9 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Четырехугольник: трапеция, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь