Дана правильная призма ABCDA1B1C1D1 с основанием ABCD. Плоскости 
и 
перпендикулярны B1D и проходят через вершины A и D1 соответственно. Пусть F и H соответственно — точки пересечения плоскостей 
и с диагональю B1D, при 
а) Найдите отношение B1H : DF.
б) Пусть дополнительно известно, что некоторая сфера радиуса 3 касается всех боковых граней призмы, а
также плоскостей и 
Найдите отрезок B1D и объём призмы ABCDA1B1C1D1.
а) Из соображений симметрии (относительно плоскости 
плоскость проходит через точку C — и, значит, через центр O грани ABCD. Отрезки 
и DF — проекции параллельных отрезков 
и DO на прямую 
причём 
Значит, 
б) Поскольку сфера касается всех боковых граней призмы, её проекция на основание есть окружность, вписанная в это основание. Значит, 
Кроме того, и —
поэтому 
Обозначим 
Поскольку 
—
то
и, следовательно, 
Тогда 
и
Получаем уравнение 
откуда 
и 
(поскольку 
Наконец, высота призмы равна
тогда объём призмы равен
Ответ: а) 2 : 1; б) 