РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1382 Добавить в вариант

Решите систему уравнений

$система выражений y плюс корень из: начало аргумента: y минус 3x конец аргумента плюс 3x=12,y в квадрате плюс y минус 3x минус 9x в квадрате =144. конец системы .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $корень из: начало аргумента: y минус 3 x конец аргумента =u,$ $y плюс 3 x=v.$ Тогда система принимает вид

$система выражений u плюс v = 1 2, u в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка v плюс u в степени левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = 1 4 4 конец системы . равносильно система выражений v=12 минус u, u в квадрате левая круглая скобка 12 минус u правая круглая скобка плюс u в квадрате =144. конец системы .$

Из второго уравнения последней системы следует, что $u в кубе минус 13 u в квадрате плюс 144=0 .$ Подбирая целый корень $u=4$ и выделяя множитель $левая круглая скобка u минус 4 правая круглая скобка$ в левой части последнего уравнения, получаем

$левая круглая скобка u минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка u в квадрате минус 9 u минус 36 правая круглая скобка =0,$

откуда $u= минус 3,$ $u=4$ или $u=12 .$ Значение $u= минус 3$ не подходит. При $u=4$ получаем $v=8.$ Тогда

$система выражений y минус 3 x = 1 6, y плюс 3 x = 8 конец системы . равносильно система выражений 2 y = 2 4, 6 x = минус 8 конец системы . равносильно система выражений x= минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби , y=12 . конец системы .$

При $u=12$ получаем $v=0.$ Тогда

$система выражений y минус 3 x = 1 4 4 , y плюс 3 x = 0 конец системы . равносильно система выражений 2 y = 1 4 4 , 6 x = минус 1 4 4 конец системы . равносильно система выражений x= минус 24, y=72. конец системы .$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка минус 24; 72 правая круглая скобка , левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ; 12 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Сделана замена переменных (как в решении) — 1 балл.

Получено кубическое уравнение относительно одной из новых переменных — 1 балл.

Решено кубическое уравнение — 2 балла.

Получены посторонние решения — снять 1 балл.

Аналоги к заданию № 1375: 1382 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Системы нелинейный уравнений, Методы алгебры. Замена переменной

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь