Разо­бьем от­ре­зок от 0 до 1 на 1000 оди­на­ко­вых по­до­т­рез­ков и от­ме­тим на нем точки Здесь фи­гур­ные скоб­ки обо­зна­ча­ют дроб­ную часть числа. В силу того, что число ир­ра­ци­о­наль­но, ни одна точка x_i не может сов­пасть с кон­цом по­до­т­рез­ка. Ясно также, что если хоть одна из этих точек по­па­ла на по­до­т­ре­зок, от­ме­чен­ный серым, то наше утвер­жде­ние до­ка­за­но. По­это­му пред­по­ло­жим, что ни одна точка на эти край­ние по­до­т­рез­ки не по­па­ла. Тогда по­лу­ча­ет­ся, что наши 999 точек долж­ны раз­ме­стить­ся на 998 остав­ших­ся по­до­т­рез­ках. Зна­чит, су­ще­ству­ет хотя бы один по­до­т­ре­зок, внутрь ко­то­ро­го по­па­дут по край­ней мере две точки x_m и Тогда Утвер­жде­ние до­ка­за­но.