Утвер­жда­ет­ся, что n удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи, если и толь­ко если его раз­ло­же­ние на про­стые мно­жи­те­ли имеет вид либо n = p⁹, либо n = p₁p₂⁴. Дей­стви­тель­но, для каж­до­го j = 1, . . . , k₁ име­ет­ся (k₂ + 1) . . . (k_s + 1) де­ли­те­лей числа n, со­дер­жа­щих p₁ в сте­пе­ни j в раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли: все эти де­ли­те­ли имеют вид Сле­до­ва­тель­но, про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей числа n со­дер­жит p₁ в сте­пе­ни (k₂ + 1) . . . (k_s + 1)(1 + . . . + k₁) = 1/2(k₁ + 1) . . . (k_s + 1)k₁. Усло­вие, что про­из­ве­де­ние всех де­ли­те­лей равно n⁵, эк­ви­ва­лент­но утвер­жде­нию, что каж­дое p_j вхо­дит в их про­из­ве­де­ние в сте­пе­ни 5k_j, и, тем самым, преды­ду­щее вы­ра­же­ние равно 5k₁. Дру­ги­ми сло­ва­ми, 1/2(k₁ + 1) . . . (k_s + 1) = 5. С дру­гой сто­ро­ны, От­сю­да сле­ду­ет, что Пусть s = 2. Тогда одно из k_j, ска­жем, k₁ равно 1, а тогда k₂ = 4 (про­сто­та числа 5). В слу­чае, когда s = 1, k₁ = k, по­лу­ча­ем урав­не­ние 1/2(k + 1) = 5, то есть k = 9. Итак, все числа удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию за­да­чи, имеют раз­ло­же­ние на про­стые мно­жи­те­ли вида либо n = p₁p₂⁴, либо n = p⁹; p₁, p₂, p > 1. Пе­ре­чис­лим те из них, ко­то­рые лежат между 400 и 600.

а)  Числа n = p₁p₂⁴. Имеем тем самым, Итак, Сле­до­ва­тель­но, а зна­чит,

Вы­пи­сы­вая все­воз­мож­ные про­из­ве­де­ния n = p₁p₂⁴, ле­жа­щие в про­ме­жут­ке от 400 до 600, с вы­ше­ука­зан­ны­ми p₁ и p₂, по­лу­ча­ем:

б)  Един­ствен­ное n = p⁹, ле­жа­щее между 400 и 600, есть 512 = 2⁹. Итого по­лу­ча­ем спи­сок всех воз­мож­ных чисел n:

Ответ: 405, 464, 496, 512, 567, 592.