Окружность 
радиуса 6 с центром O вписана в остроугольный треугольник CFM и касается его сторон CM и FM в точках P и K соответственно. Окружность 
радиуса 
с центром T описана около треугольника PKM.
а) Найдите OM.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника CFT к площади треугольника CFM равно 
Найдите длину биссектрисы MA треугольника CFM, а также его площадь.
а) Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому углы ОKM и ОРМ прямые, т. е. из точек K и P отрезок OM виден под прямым углом. Следовательно, окружность, построенная на отрезке OM как на диаметре, проходит также через точки K и P, значит, это окружность 
Отрезок OM равен удвоенному радиусу этой окружности, т. е. 
б) Обозначим точку касания окружности со стороной 
через B, высоту треугольника, проведённую из вершины M, через MH. Пусть 
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, поэтому 
Из треугольника POM находим, что
Поскольку у треугольников СFT и СFM общее основание CF, то их площади относятся как высоты, проведённые к этому основанию, а отношение этих высот равно 
Отсюда получаем
Поскольку OB параллельна AH и 
из треугольника AOB получаем, что
Из треугольника AMH находим, что 
Выразим площадь треугольника СMF двумя способами. С одной стороны,
С другой стороны, 
где 
—
получаем, что
Получаем уравнение 
откуда 
тогда 
Ответ: а) 
