РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1445 Добавить в вариант

Определить сторону равностороннего треугольника, если расстояния от некоторой внутренней его точки до вершин равны a, b и c.

Спрятать решение

Решение.

Обозначив искомую сторону через x, данную точку через O и угол BAO через α, из треугольника AOB найдем:

$b в квадрате =x в квадрате плюс a в квадрате минус 2 a x косинус альфа .$

Откуда:

$косинус альфа = дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: 2 a x конец дроби .$

Таким же путем из треугольника AOC найдем:

$косинус левая круглая скобка 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка = дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате минус c в квадрате , знаменатель: 2 a x конец дроби ,$

или

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби косинус альфа плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби синус альфа = дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате минус c в квадрате , знаменатель: 2 a x конец дроби .$

Делая сюда подстановку выражения для $косинус альфа ,$ получим:

$синус альфа = дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате плюс b в квадрате минус 2 c в квадрате , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента a x конец дроби .$

Возводя выражения для $косинус альфа$ и $синус альфа$ в квадрат и складывая, получаем уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате минус b в квадрате , знаменатель: 2 a x конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: x в квадрате плюс a в квадрате плюс b в квадрате минус 2 c в квадрате , знаменатель: 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента a x конец дроби правая круглая скобка в квадрате =1,$

которое после упрощений представляется в виде

$x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате правая круглая скобка x в квадрате плюс левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка плюс c в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус a в квадрате b в квадрате минус b в квадрате c в квадрате минус c в квадрате a в квадрате правая круглая скобка =0.$

Решив это уравнение, получим:

$x в квадрате = дробь: числитель: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента корень из: начало аргумента: 4 b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента c в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби$

(в предположении, что $a больше или равно b больше или равно c,$ что не уменьшает общности).

Для действительности корней необходимо:

$4 b в квадрате c в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка в квадрате больше 0,$

откуда:

$2 b c больше a в квадрате минус b в квадрате минус c в квадрате равносильно левая круглая скобка b плюс c правая круглая скобка в квадрате больше a в квадрате равносильно b плюс c больше a,$

то есть отрезки a, b и c должны быть заданы такими, чтобы из них можно было построить треугольник.

Ответ: $x в квадрате = дробь: числитель: a в квадрате плюс b в квадрате плюс c в квадрате \pm корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента корень из: начало аргумента: 4 b в степени левая круглая скобка 2 конец аргумента c в квадрате минус левая круглая скобка a в квадрате минус b в квадрате минус c в квадрате правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Геометрия: планиметрия. Треугольник равносторонний, Методы геометрии. Тригонометрия в геометрии

Спрятать решение · Помощь