РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1446 Добавить в вариант

Сколько существует несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству $x в степени 4 минус 2x в кубе плюс 6x минус 9 меньше или равно 0$ ?

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 x в кубе плюс x в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 x в кубе плюс x в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$ $x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка минус 2 x в кубе плюс x в квадрате минус левая круглая скобка x в квадрате минус 6 x плюс 9 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно x в квадрате левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка x в квадрате минус 2 x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 3 правая круглая скобка меньше или равно 0.$

Первый множитель всегда положителен. Поэтому неравенство сводится к $x в квадрате минус 3 меньше или равно 0$ отсюда $минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента меньше или равно x меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Найдем число несократимых дробей со знаменателем 218, удовлетворяющих неравенству. Рассмотрим положительные m:

$дробь: числитель: m, знаменатель: 218 конец дроби меньше или равно корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента равносильно 0 меньше m в квадрате меньше или равно 3 умножить на 218 в квадрате =142 572.$

Так как $377 в квадрате меньше 142 572 меньше 378 в квадрате ,$ то $377 меньше корень из: начало аргумента: 142 572 конец аргумента меньше 378,$ поэтому m может принимать значения от 1 до 377 включительно. Исключим те значения, при которых дробь сокращается. Так как $218=2 умножить на 109,$ то исключаем все четные числа: $m не равно q 2 k$ и нечетные, кратные 109: $m не равно q 109,$ $m не равно q 327.$ Тогда получаем $377 минус 188 минус 2=187$ положительных дробей. Для отрицательных m решение аналогично. Итого 187 положительных и 187 отрицательных дробей.

Ответ: 187 положительных и 187 отрицательных дробей. Всего 374.

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Косвенные способы в неравенствах, Методы алгебры. Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Помощь