РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1447 Добавить в вариант

Решить в целых числах уравнение:

$1! плюс 2! плюс 3! плюс ... плюс x!=1 в кубе плюс 2 в кубе плюс ... плюс y в кубе .$

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что

$1 в кубе плюс 2 в кубе плюс \ldots плюс y в кубе = левая круглая скобка дробь: числитель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате .$

Таким образом, правая часть является квадратом некоторого числа.

Теперь обозначим через S_n сумму n слагаемых в левой части. Имеем:

$1 !=1,$ $S_1=1;$

$2 !=2,$ $S_2=3;$

$3 !=6,$ $S_3=9;$

$4 !=24,$ $S_4=33;$

$5 !=120,$ $S_5=153.$

Видно, что для любого $n больше или равно 5$ число n! заканчивается на 0, а следовательно, S_n заканчивается на 3. Поскольку квадрат числа не может заканчиваться на 3, нам нужно рассмотреть два случая: $x=1$ и $x=3.$ В первом случае $S_1=1,$ то есть

$левая круглая скобка дробь: числитель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =1 \Rightarrow y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =2 \Rightarrow y=1.$

Во втором случае $S_3=9:$

$левая круглая скобка дробь: числитель: y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =9 \Rightarrow y левая круглая скобка y плюс 1 правая круглая скобка =6 \Rightarrow y=2 .$

Получаем два решения $x=1,$ $y=1$ и $x=3,$ $y=2.$

Ответ: $левая фигурная скобка левая круглая скобка 1; 1 правая круглая скобка , левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка правая фигурная скобка .$

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2018 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах Диофантовы уравнения

Спрятать решение · Помощь