сайты - меню - вход - но­во­сти
СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ
Об олим­пи­а­дах
Ка­та­лог за­да­ний
Уче­ни­ку
Учи­те­лю
Школа
Ска­зать спа­си­бо
Во­прос — ответ


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Окруж­ность дан­но­го ра­ди­у­са R раз­де­ле­на на 10 рав­ных ча­стей. Со­еди­нив по­сле­до­ва­тель­но хор­да­ми первую точку с чет­вер­той, чет­вер­тую с седь­мой и т. д., по­лу­чим два­дца­ти­уголь­ник с де­ся­тью вхо­дя­щи­ми и де­ся­тью вы­хо­дя­щи­ми уг­ла­ми. С по­мо­щью цир­ку­ля и ли­ней­ки по­строй­те квад­рат, рав­но­ве­ли­кий этому два­дца­ти­уголь­ни­ку.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Оче­вид­но, все сто­ро­ны мно­го­уголь­ни­ка равны между собой, все вхо­дя­щие углы равны между собой, все вхо­дя­щие углы также. Дан­ный мно­го­уголь­ник можно рас­смат­ри­вать как сумму два­дца­ти тре­уголь­ни­ков, рав­ных AOB. Вы­чис­лим пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка. В этом тре­уголь­ни­ке \angle A=36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , как впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на дугу F E=72 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ; \angle O=18 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка как цен­траль­ный, опи­ра­ю­щий­ся на дугу A D= дробь: чис­ли­тель: A C, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =18 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Имеем

S_\triangle A O B= дробь: чис­ли­тель: A O умно­жить на O B умно­жить на синус 18 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Но A O=R ; OB  — най­дем по тео­ре­ме си­ну­сов:

дробь: чис­ли­тель: O B, зна­ме­на­тель: синус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A O, зна­ме­на­тель: синус 126 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби или \quad дробь: чис­ли­тель: O B, зна­ме­на­тель: синус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: A O, зна­ме­на­тель: ко­си­нус 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

От­сю­да O B=R тан­генс 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . По­лу­ча­ем

S_\triangle A O B= дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те синус 18 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка тан­генс 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

При­няв во вни­ма­ние, что

синус 18 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , тан­генс 36 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та

и сде­лав под­ста­нов­ку в преды­ду­щее вы­ра­же­ние, най­дем

S_\triangle A O B= дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Под­ве­дя левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка под ра­ди­кал, по­лу­чим

S_\triangle A O B= дробь: чис­ли­тель: R в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 50 минус 22 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,

от­ку­да ис­ко­мая пло­щадь

S=20 умно­жить на S_\triangle A O B= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 50 минус 22 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

От­сю­да най­дем вы­ра­же­ние для сто­ро­ны квад­ра­та.

 

Ответ: a= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 50 R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та минус 22 R в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2024