При ре­ше­нии за­да­чи будем ис­поль­зо­вать свой­ство умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да. Оно со­сто­ит в том, что при умно­же­нии двух цифр a и b по­лу­ча­ет­ся либо од­но­знач­ное число (цифра), либо дву­знач­ное, и в по­след­нем слу­чае пер­вая цифра дву­знач­но­го про­из­ве­де­ния мень­ше, чем ми­ни­маль­ная из цифр a, b. Дей­стви­тель­но, дву­знач­ные числа a₀ = 10 × a и b₀ = 10 × b боль­ше, чем ab, так как a, b < 9. Тем самым на каж­дом шаге либо по­лу­ча­ет­ся на цифру мень­ше (пер­вый слу­чай), либо число цифр со­хра­ня­ет­ся, но ми­ни­маль­ная из всех цифр, на­пи­сан­ных на доске, не уве­ли­чи­ва­ет­ся.

Будем до­ка­зы­вать утвер­жде­ние за­да­чи ин­дук­ци­ей по числу n

База ин­дук­ции: при n = 1 утвер­жде­ние оче­вид­но. Утвер­жде­ние для n = 2 сле­ду­ет из свой­ства умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да, в силу ко­то­ро­го через не­сколь­ко шагов оста­нет­ся одна цифра.

Шаг ин­дук­ции. Пусть утвер­жде­ние до­ка­за­но для n = k. До­ка­жем его для n = k + 1. Пусть m  — ми­ни­маль­ная из цифр, на­пи­сан­ных на доске. До­ста­точ­но по­ка­зать, что через не­сколь­ко шагов либо число цифр умень­шит­ся, либо ми­ни­маль­ная цифра умень­шит­ся: по­явит­ся цифра мень­ше m. Пред­по­ло­жим про­тив­ное. Тогда число цифр не умень­ша­ет­ся и в каж­дый мо­мент есть цифра m, к ко­то­рой оче­ред­ной шаг за­да­чи не при­ме­ня­ет­ся: каж­дый шаг не за­тра­ги­ва­ет хотя бы одну цифру m. В про­тив­ном слу­чае, если оста­лась одна или две цифры m, и к ней (со­от­вет­ствен­но, к ним обеим) при­ме­нен шаг за­да­чи, и при этом число цифр не умень­ша­ет­ся, то ми­ни­маль­ная цифра умень­шит­ся в силу свой­ства умень­ше­ния пер­во­го раз­ря­да. Вы­ше­ска­зан­ное эк­ви­ва­лент­но тому, что все шаги за­да­чи при­ме­ня­ют­ся к мень­ше­му на­бо­ру цифр: ко всем, кроме одной из цифр m. А тогда по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции через не­сколь­ко шагов на доске, кроме цифры m, оста­нет­ся одна цифра. Это сво­дит шаг ин­дук­ции к слу­чаю двух цифр, для ко­то­ро­го утвер­жде­ние за­да­чи до­ка­за­но. Шаг ин­дук­ции до­ка­зан.