Три равных шара радиусом 1 лежат на одной плоскости и попарно касаются друг друга. Конус с углом 60° в вершине осевого сечения стоит основанием на той же плоскости и касается боковой поверхности каждого шара. Найти радиус основания конуса.
Обозначим через O1, O2, O3 — центры данных шаров, x — радиус основания конуса. Очевидно, O1O2O3 — правильный треугольник со стороной; равной двум радиусам шара, то есть равной 2. Высота конуса пересекает плоскость треугольника O1O2O3 в его центре O, поэтому OO1 — радиус окружности, описанной около треугольника O1O2O3, то есть
Рассмотрим два возможных случая:
1) шары находятся внутри конуса;
2) шары находятся вне конуса.
1) Пусть шары расположены внутри конуса. Рассмотрим осевое сечение ABC конуса, проходящее через один из центров данных шаров, например O1. Пусть BK — высота конуса. Как было показано выше, точка O1 удалена от BK на расстояние
Поскольку шар с центром O1 касается образующей конуса в точке L и основания конуса в точке M (то есть 
то точка O1 лежит на биссектрисе угла ACB, откуда
Поэтому
2) Пусть теперь шары расположены вне конуса. В этом случае точка O1 будет принадлежать биссектрисе угла BCM (ABC — осевое сечение конуса, проходящее через O1), поскольку O1 равноудалена от образующей конуса BC и от продолжения AM основания конуса.
Итак:
Ответ: 
