Определить в целых числах стороны тупоугольного треугольника, периметр и площадь которого выражаются одним и тем же целым числом.
По условию имеем:
или, введя обозначение 
получим: 
Исследуем это уравнение. Прежде всего установим, что x, y и z не могут быть равны между собой, так как в этом случае имеем 
и x не может быть рациональным числом. Положим теперь, что равны между собою какие-либо два из неизвестных x, y, z. Допустим, 
Тогда имеем 
Откуда:
При этом, так как 
Решив это неравенство, найдем 
Но при 
не получается целых значений a, b, c.
Таким образом, треугольник может быть только разносторонним. Не нарушая общности, мы можем положить 
Заметим еще, что z не может быть больше 2. Действительно, если 
то 
и подстановка дает
и при больших значениях z неравенство будет только усиливаться. Отсюда следует, что испытанию подлежат лишь два значения 
и 
Пусть 
Тогда
Целые значения для x получаются в случаях: 
и 
и 
и 
При больших значениях y будет уже 
что противоречит предположению. Вычислив стороны, получаем три треугольника, удовлетворяющих условию задачи: (6; 25; 29), (7; 15; 20), (9; 10; 17). Проверка показывает, что все они тупоугольные. Например, у первого треугольника косинус угла, лежащего против большей стороны, отрицательный: по теореме косинусов
Пусть Тогда
Целые значения для x получаются в случаях: 
и 
и 
При больших значениях y получаем 
что противоречит предположению.
Получаем еще два треугольника (5; 12; 13), (6; 8; 10). Но эти треугольники являются прямоугольными.
Ответ: (6; 25; 29), (7; 15; 20), (9; 10; 17).