В треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠A = 30°. Вписанная окружность касается стороны AB в точке P, а стороны AC — в точке Q; M — середина стороны AC. Докажите, что PM = PQ.
Пусть O — центр вписанной окружности, r — её радиус, а R — точка её касания со стороной BC. Четырёхугольник PORB — квадрат, сторона которого равна радиусу r. Треугольник BCM равнобедренный: BM = CM (это верно для любого прямоугольного треугольника). А в нашем случае он даже равносторонний, так как ∠C = 90° − 30° = 60°. Имеем CB = CM. Кроме того, CR = CQ, так как Q и R — точки касания вписанной окружности с лучами, выпущенными из точки C. Следовательно, MQ = BR = r. Пусть S — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на сторону AC. Имеем QS = OP/2 = r/2, так как QS есть ортогональная проекция отрезка OP на сторону AC, а угол между ними равен 60°. Напомним, что QM = r. Тем самым, S — середина отрезка QM. Итак, прямоугольные треугольники PSQ и PSM равны. Значит, PM = PQ.