РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1478 Добавить в вариант

Решите уравнение

$дробь: числитель: косинус 5x минус косинус 7x, знаменатель: синус 4x плюс синус 2x конец дроби =2 \mid синус 2x \mid.$

Спрятать решение

Решение.

На ОДЗ данное уравнение равносильно каждому из следующих:

$дробь: числитель: 2 синус x синус 6 x, знаменатель: 2 синус 3 x косинус x конец дроби =2| синус 2 x| равносильно дробь: числитель: 2 синус x синус 3 x косинус 3 x, знаменатель: синус 3 x косинус x конец дроби =2| синус 2 x| равносильно$

$равносильно дробь: числитель: синус x косинус 3 x, знаменатель: косинус x конец дроби =2| синус x косинус x| равносильно синус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 3 правая круглая скобка =2| синус x косинус x|.$

Рассмотрим два случая.

a) Когда $синус x косинус x больше или равно 0$ (т. е. угол x лежит в первой или третьей четверти). Тогда получаем

$синус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 3 правая круглая скобка =2 синус x косинус x,$

откуда либо $синус x=0$ (что невозможно, так как знаменатель в левой части исходного уравнения обращается в ноль), либо

$4 косинус в квадрате x минус 2 косинус x минус 3=0.$

Следовательно, $косинус x= дробь: числитель: 1 \pm корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ Уравнение $косинус x= дробь: числитель: 1 плюс корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби$ не имеет решений, так как правая часть больше единицы, а из уравнения $косинус x= дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ,$ учитывая ограничение, получаем

$x= минус арккосинус дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 k Пи : k принадлежит \mathrmZ .$

б) Когда $синус x косинус x меньше 0$ (т. е. угол x лежит во второй или четвёртой четверти). Тогда получаем

$синус x левая круглая скобка 4 косинус в квадрате x минус 3 правая круглая скобка = минус 2 синус x косинус x,$

откуда $4 косинус в квадрате x плюс 2 косинус x минус 3=0 .$ Следовательно, $косинус x= дробь: числитель: минус 1 \pm корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$ Уравнение $косинус x= дробь: числитель: минус 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби$ не имеет решений, так как правая часть меньше минус единицы, а из уравнения $косинус x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби ,$ учитывая ограничение, получаем

$x= минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 k Пи : k принадлежит \mathrmZ .$

Ответ: $левая фигурная скобка минус арккосинус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента минус 1, знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 k Пи ; минус арккосинус дробь: числитель: 1 минус корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 k Пи : k принадлежит \mathrmZ правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Уравнение приведено к виду $дробь: числитель: косинус 3 x синус x, знаменатель: косинус x конец дроби = a | синус 2x|$ (вариант 1), $дробь: числитель: синус 3 x косинус x, знаменатель: синус x конец дроби = a | синус 2x|$ (вариант 2) — 1 балл.

В каждом из двух случаев раскрытия модуля получено уравнение относительно $синус x$ $левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка$  — 2 балла (по 1 баллу за случай).

Решено одно из этих уравнений (или оба) — 1 балл.

Сделан отбор, возникающий за счёт знака модуля — 2 балла (по 1 баллу за случай).

В вариантах не отброшена серия $x =k Пи$  — снять 1 балл.

Неэквивалентное преобразование с модулем (например, $| синус 2x|=2 синус x | косинус x| правая круглая скобка$  — не более 2 баллов за задачу.

Аналоги к заданию № 1478: 1485 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2016 год

Классификатор: Алгебра: тригонометрия. Тригонометрия + модули, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь