Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что среди них есть хотя бы два одинаковых.
Предположим, что все квадраты разного размера. Тогда никакие два не стоят в одной строке или столбце, так как сторона квадрата равна ширине столбца и высоте строки, в которых он стоит. Суммарная ширина девяти столбцов, в которых есть квадраты, равна сумме длин сторон квадратов, с одной стороны. С другой стороны, сумма длин сторон квадратов равна суммарной высоте девяти строк, в которых есть квадраты. Но тогда и ширина десятого столбца равна высоте десятой строки (т. к. изначально разбивали квадрат), следовательно, на их пересечении тоже стоит квадрат, а значит, их минимум 10, что противоречит условию.