РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1507 Добавить в вариант

Найдите количество пар целых чисел (x; y), удовлетворяющих условию $5x в квадрате минус 6xy плюс y в квадрате =6 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Раскладывая левую и правую части уравнения на множители, получаем $левая круглая скобка 5 x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$ Поскольку каждый из множителей в левой части является целым числом, отсюда следует, что

$система выражений 5 x минус y = 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка , x минус y = 2 в степени левая круглая скобка 1 0 0 минус k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 1 0 0 минус l правая круглая скобка конец системы .$

или

$система выражений 5 x минус y= минус 2 в степени левая круглая скобка k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка ,x минус y= минус 2 в степени левая круглая скобка 100 минус k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 100 минус l правая круглая скобка . конец системы .$

где k и l  — целые числа из отрезка [0; 100]. Найдём количество решений первой системы. Выражая из неё x и y, получаем

$система выражений x=2 в степени левая круглая скобка k минус 2 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 98 минус k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 100 минус l правая круглая скобка , y=2 в степени левая круглая скобка k минус 2 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка l правая круглая скобка минус 5 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 98 минус k правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка 100 минус l правая круглая скобка . конец системы .$

Рассмотрим первое уравнение. Показатели в степенях тройки неотрицательны. Сумма показателей в степенях двойки равна 96, поэтому хотя бы один из них положителен, т. е соответствующий ему член является целым числом. Так как в левой части равенства также целое число, то и второй член в правой части равенства должен быть целым. Значит, для существования целочисленных решений необходимо и достаточно, чтобы $2 меньше или равно k меньше или равно 98,$ $0 меньше или равно l меньше или равно 100$   — всего $97 умножить на 101=9797$ вариантов. Вторая система также имеет 9797 решений; итак, всего 19 594 решений.

Ответ: 19 594.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Левая часть уравнения на множители — 1 балла.

Составлена система линейных уравнений относительно x и у — 2 балла.

Аналоги к заданию № 1507: 1563 Все

Олимпиада школьников Физтех, 10 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: числа. В целых числах нелинейные уравнения, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь