РЕШУ ОЛИМП: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 0 № 1578 Добавить в вариант

Решите уравнение

$левая круглая скобка дробь: числитель: 3x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: x в степени 7 , знаменатель: 8 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Логарифмируя по основанию 3, получаем уравнение, равносильное исходному:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3 x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка =7 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x минус 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2.$ $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 8 x правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 3 x, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка , знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка равносильно$
$равносильно левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x плюс 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2 правая круглая скобка =7 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x минус 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2.$

Обозначим $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x=y$ и $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2=a.$ После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых уравнение принимает вид

$y в квадрате плюс левая круглая скобка 2 a минус 6 правая круглая скобка y минус 3 a в квадрате плюс 6 a=0.$

Решаем квадратное уравнение относительно y:

$дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 a в квадрате минус 6 a правая круглая скобка =4 a в квадрате минус 12 a плюс 9= левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка в квадрате , y=3 минус a \pm левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка равносильно совокупность выражений y=a, y=6 минус 3 a. конец совокупности .$ $дробь: числитель: D, знаменатель: 4 конец дроби = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 3 a в квадрате минус 6 a правая круглая скобка =4 a в квадрате минус 12 a плюс 9= левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка в квадрате , y=3 минус a \pm левая круглая скобка 2 a минус 3 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно совокупность выражений y=a, y=6 минус 3 a. конец совокупности .$

Находим x: если $y=a,$ то $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x= логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2$ и $x=2;$ если $y=6 минус 3 a,$ то $логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка x=6 минус 3 логарифм по основанию левая круглая скобка 3 правая круглая скобка 2$ и $x= дробь: числитель: 729, знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: $левая фигурная скобка дробь: числитель: 729, знаменатель: 8 конец дроби ; 2 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Уравнение приведено квадратному относительно логарифма по постоянному основанию — 3 балла.

Получен ответ в неупрощенном виде — 1 балл.

Получен ответ в упрощенном виде — 4 балла.

Уравнение приведено к виду $f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка g левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$ или $f левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка =g левая круглая скобка x правая круглая скобка в степени левая круглая скобка h левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка$  — 3 балла.

Если при таком способе решения рассмотрен только один из двух случаев $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =1,$ $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =h левая круглая скобка x правая круглая скобка$ или $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =g левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ $h левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$  — 1 балл.

Аналоги к заданию № 1578: 1585 Все

Олимпиада школьников Физтех, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2015 год

Классификатор: Алгебра: уравнения и неравенства. Уравнения комбинированные (без триг.), Методы алгебры. Замена переменной, Методы алгебры. Преобразования выражений

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь